Nos Exercs. 1 a 12, determine o argumento dos números complexos dados, escreva esses números na forma polar e represente-os geometricamente.
z=1-1-i raiz3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar o argumento do número complexo $ z = \frac{1}{-1 - i\sqrt{3}} $. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, especificamente a forma polar e o argumento de um número complexo. Vamos precisar entender como manipular frações envolvendo números complexos e como encontrar o módulo e o argumento desses números.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de $ z $. Temos:
z
Para facilitar, vamos racionalizar o denominador multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de $ -1 - i\sqrt{3} $ é $ -1 + i\sqrt{3} $. Então:
z = 1-1 - iraiz3

Passo 3

Agora, vamos multiplicar o numerador e o denominador:
z = -1 + iraiz3(-1)^2 - (iraiz3)^2
Lembrando que $ i^2 = -1 $, temos:
i^2 = -1
Então, simplificando:
z = -1 + iraiz31 - (-3) = -1 + iraiz34

Passo 4

Agora, vamos encontrar o módulo de $ z $. O módulo de um número complexo $ a + ib $ é dado por:
z
Aplicando para nosso $ z $:
a + ib

Passo 5

Em seguida, vamos determinar o argumento de $ z $. O argumento é o ângulo $ \theta $ que o número complexo forma com o eixo real no plano complexo. Ele é calculado usando a tangente:
z á
No nosso caso:
theta
Como a parte real é negativa e a parte imaginária é positiva, sabemos que $ z $ está no segundo quadrante. O ângulo cuja tangente é $ -\sqrt{3} $ no segundo quadrante é $ \frac{2\pi}{3} $ radianos (ou 120 graus).

Passo 6

Agora, vamos escrever $ z $ na forma polar. A forma polar de um número complexo é:
z
Sabendo que $ r = \frac{1}{2} $ e $ \theta = \frac{2\pi}{3} $, temos:
z = r ( cos(theta) + isin(theta) )

Passo 7

Por fim, para representar $ z $ geometricamente, plotamos o ponto no plano complexo com coordenadas $ \left(-\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right) $. Isso fica a meio caminho no segundo quadrante, formando um ângulo de $ 120^\circ $ com o eixo real e estando a uma distância de $ \frac{1}{2} $ unidades da origem.

Resposta

O argumento de $ z $ é $ \frac{2\pi}{3} $ radianos (120 graus), a forma polar é $ z = \frac{1}{2} \left( \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) \right) $ e sua representação geométrica está no segundo quadrante, a $ 120^\circ $ da origem.

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