Nos Exercs. 1 a 12, determine o argumento dos números complexos dados, escreva esses números na forma polar e represente-os geometricamente.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar o argumento do número complexo $ z = \frac{1}{-1 - i\sqrt{3}} $. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, especificamente a forma polar e o argumento de um número complexo. Vamos precisar entender como manipular frações envolvendo números complexos e como encontrar o módulo e o argumento desses números.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão de $ z $. Temos:
Para facilitar, vamos racionalizar o denominador multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de $ -1 - i\sqrt{3} $ é $ -1 + i\sqrt{3} $. Então:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar o numerador e o denominador:
Lembrando que $ i^2 = -1 $, temos:
Então, simplificando:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o módulo de $ z $. O módulo de um número complexo $ a + ib $ é dado por:
Aplicando para nosso $ z $:
Passo 5
Em seguida, vamos determinar o argumento de $ z $. O argumento é o ângulo $ \theta $ que o número complexo forma com o eixo real no plano complexo. Ele é calculado usando a tangente:
No nosso caso:
Como a parte real é negativa e a parte imaginária é positiva, sabemos que $ z $ está no segundo quadrante. O ângulo cuja tangente é $ -\sqrt{3} $ no segundo quadrante é $ \frac{2\pi}{3} $ radianos (ou 120 graus).
Passo 6
Agora, vamos escrever $ z $ na forma polar. A forma polar de um número complexo é:
Sabendo que $ r = \frac{1}{2} $ e $ \theta = \frac{2\pi}{3} $, temos:
Passo 7
Por fim, para representar $ z $ geometricamente, plotamos o ponto no plano complexo com coordenadas $ \left(-\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right) $. Isso fica a meio caminho no segundo quadrante, formando um ângulo de $ 120^\circ $ com o eixo real e estando a uma distância de $ \frac{1}{2} $ unidades da origem.
Resposta
O argumento de $ z $ é $ \frac{2\pi}{3} $ radianos (120 graus), a forma polar é $ z = \frac{1}{2} \left( \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) \right) $ e sua representação geométrica está no segundo quadrante, a $ 120^\circ $ da origem.