(3,0 pontos) Mostre que
dd x[x^2 J2(x)]=x^2 J1(x)
em que Jp(x) é a função de Bessel de primeiro tipo.

Passo 1

Beleza, então vamos lá! A gente tem que mostrar que a derivada de $ x^{2} J_{2}(x) $ em relação a $ x $ é igual a $ x^{2} J_{1}(x) $. Aqui, $ J_{p}(x) $ é a função de Bessel de primeira espécie. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto da derivada e algumas propriedades das funções de Bessel.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a regra do produto para derivar $ x^{2} J_{2}(x) $. A regra do produto diz que se temos duas funções multiplicando, $ u(x) $ e $ v(x) $, a derivada é:
x^2 J2(x)
No nosso caso, $ u(x) = x^{2} $ e $ v(x) = J_{2}(x) $. Vamos derivar cada uma:
  • Derivada de $ u(x) = x^{2} $ é $ u’(x) = 2x $.
  • Derivada de $ v(x) = J_{2}(x) $ precisamos encontrar usando propriedades das funções de Bessel.

Passo 3

Agora, precisamos saber como derivar $ J_{2}(x) $. Existe uma propriedade das funções de Bessel que relaciona as derivadas de diferentes ordens:
J2(x)
Para $ n = 2 $:
ddx Jn(x) = Jn-1(x) - Jn+1(x)2

Passo 4

Vamos voltar à nossa regra do produto:
ddx[x^2 J2(x)] = 2x cdot J2(x) + x^2 cdot J1(x) - J3(x)2
Agora, simplificando:
= 2x J2(x) + x^2 J1(x)2 - x^2 J3(x)2

Passo 5

Para simplificar ainda mais, vamos usar outra propriedade das funções de Bessel que nos diz que:
x Jn-1(x) + x Jn+1(x) = 2n Jn(x)
Para $ n = 2 $:
n = 2
Isso significa que:
x J1(x) + x J3(x) = 4 J2(x)

Passo 6

Substituindo de volta na nossa expressão:
2x J2(x) + x^2 cdot 4 J2(x)x2 - x^2 cdot 4 J2(x)x2
Simplificando:
2x J2(x) + 2x J2(x) - 2x J2(x) = 2x J2(x)

Resposta

Portanto,
ddx[x^2 J2(x)] = x^2 J1(x)

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