(3,0 pontos) Mostre que
em que
é a função de Bessel de primeiro tipo.
Passo 1
Beleza, então vamos lá! A gente tem que mostrar que a derivada de $ x^{2} J_{2}(x) $ em relação a $ x $ é igual a $ x^{2} J_{1}(x) $. Aqui, $ J_{p}(x) $ é a função de Bessel de primeira espécie. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto da derivada e algumas propriedades das funções de Bessel.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a regra do produto para derivar $ x^{2} J_{2}(x) $. A regra do produto diz que se temos duas funções multiplicando, $ u(x) $ e $ v(x) $, a derivada é:
No nosso caso, $ u(x) = x^{2} $ e $ v(x) = J_{2}(x) $. Vamos derivar cada uma:
- Derivada de $ u(x) = x^{2} $ é $ u’(x) = 2x $.
- Derivada de $ v(x) = J_{2}(x) $ precisamos encontrar usando propriedades das funções de Bessel.
Passo 3
Agora, precisamos saber como derivar $ J_{2}(x) $. Existe uma propriedade das funções de Bessel que relaciona as derivadas de diferentes ordens:
Para $ n = 2 $:
Passo 4
Vamos voltar à nossa regra do produto:
Agora, simplificando:
Passo 5
Para simplificar ainda mais, vamos usar outra propriedade das funções de Bessel que nos diz que:
Para $ n = 2 $:
Isso significa que:
Passo 6
Substituindo de volta na nossa expressão:
Simplificando:
Resposta
Portanto,