6- O conjunto de todas as somas de um número inteiro positivo com o seu quadrado necessariamente resulta
Escolha uma:
a. em um conjunto de múltiplos de 3 .
b. em um conjunto de números ímpares.
c. no conjunto dos inteiros não negativos.
d. em um conjunto de números primos.
e. em um conjunto de múltiplos de 2 .
a. em um conjunto de múltiplos de 3 .
b. em um conjunto de números ímpares.
c. no conjunto dos inteiros não negativos.
d. em um conjunto de números primos.
e. em um conjunto de múltiplos de 2 .
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar, para todo número inteiro positivo dado, em qual dos conjuntos listados o valor “soma do número com o seu quadrado” necessariamente pertence.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A variável é um número inteiro positivo, chamado aqui de
, isto é . - O valor a analisar é a soma do número com o seu quadrado:
. - As alternativas são:
a. múltiplos de.
b. números ímpares.
c. inteiros não negativos.
d. números primos.
e. múltiplos de.
Passo 2
Fatoração simples: tirar
em evidência da expressão
. Isso é uma técnica algébrica básica (fator comum). Aplicando:
Explicação: ao fatorar, escrevemos a soma como produto de dois inteiros consecutivos (
e
). Isso costuma facilitar análises sobre divisibilidade e paridade.
Passo 3
Propriedade fundamental sobre inteiros consecutivos (aula curtinha): entre dois números inteiros consecutivos sempre há um par e um ímpar. Em outras palavras, para quaisquer inteiros
e
, exatamente um deles é divisível por
.
Definição rápida:
Definição rápida:
- Um número é par se é divisível por
, ou seja, se pode ser escrito como para algum inteiro . - Um número é ímpar se não é divisível por
, isto é, da forma .
Passo 4
Aplicando a propriedade ao produto
: como
e
são consecutivos, um deles é par. Assim, o produto
tem um fator par, logo o produto todo é divisível por
. Em linguagem direta:
é sempre um número par, ou seja, sempre é múltiplo de
.
Passo 5
Exemplos numéricos para fixar a ideia (e para invalidar as opções erradas):
- Para
: . Isso mostra que o resultado pode ser (par, não múltiplo de , não ímpar, não primo? é primo mas isso não garante primalidade para todos os ). - Para
: . Aqui o resultado é (par e composto).
Com esses dois exemplos já se vê que nem todos os resultados são múltiplos de(ex.: não é), nem todos são ímpares (ex.: e são pares), nem todos são primos (ex.: não é primo).
Passo 6
Sobre a alternativa que diz “no conjunto dos inteiros não negativos”: de fato, para
tem-se
, então o resultado sempre é um inteiro não negativo. Contudo, entre as alternativas dadas existe uma propriedade mais forte e característica que se verifica para todo
: a paridade (ser múltiplo de
). Em provas de múltipla escolha costuma-se escolher a propriedade mais específica e que captura a característica verdadeira para todo
, que é a divisibilidade por
.
Resposta
e. em um conjunto de múltiplos de 2 .