6- O conjunto de todas as somas de um número inteiro positivo com o seu quadrado necessariamente resulta
Escolha uma:
a. em um conjunto de múltiplos de 3 .
b. em um conjunto de números ímpares.
c. no conjunto dos inteiros não negativos.
d. em um conjunto de números primos.
e. em um conjunto de múltiplos de 2 .

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar, para todo número inteiro positivo dado, em qual dos conjuntos listados o valor “soma do número com o seu quadrado” necessariamente pertence.
Informações fornecidas:
  • A variável é um número inteiro positivo, chamado aqui de n, isto é n\in\mathbb{Z}^+.
  • O valor a analisar é a soma do número com o seu quadrado: n + n^2.
  • As alternativas são:
    a. múltiplos de 3.
    b. números ímpares.
    c. inteiros não negativos.
    d. números primos.
    e. múltiplos de 2.

Passo 2

Fatoração simples: tirar n em evidência da expressão n + n^2. Isso é uma técnica algébrica básica (fator comum). Aplicando:
n + n^2 = n(1 + n) = n(n+1).
Explicação: ao fatorar, escrevemos a soma como produto de dois inteiros consecutivos ( n e n+1). Isso costuma facilitar análises sobre divisibilidade e paridade.

Passo 3

Propriedade fundamental sobre inteiros consecutivos (aula curtinha): entre dois números inteiros consecutivos sempre há um par e um ímpar. Em outras palavras, para quaisquer inteiros k e k+1, exatamente um deles é divisível por 2.
Definição rápida:
  • Um número é par se é divisível por 2, ou seja, se pode ser escrito como 2m para algum inteiro m.
  • Um número é ímpar se não é divisível por 2, isto é, da forma 2m+1.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao produto n(n+1): como n e n+1 são consecutivos, um deles é par. Assim, o produto n(n+1) tem um fator par, logo o produto todo é divisível por 2. Em linguagem direta: n(n+1) é sempre um número par, ou seja, sempre é múltiplo de 2.

Passo 5

Exemplos numéricos para fixar a ideia (e para invalidar as opções erradas):
  • Para n=1: n+n^2 = 1+1=2. Isso mostra que o resultado pode ser 2 (par, não múltiplo de 3, não ímpar, não primo? 2 é primo mas isso não garante primalidade para todos os n).
  • Para n=2: n+n^2 = 2+4=6. Aqui o resultado é 6 (par e composto).
    Com esses dois exemplos já se vê que nem todos os resultados são múltiplos de 3 (ex.: 2 não é), nem todos são ímpares (ex.: 2 e 6 são pares), nem todos são primos (ex.: 6 não é primo).

Passo 6

Sobre a alternativa que diz “no conjunto dos inteiros não negativos”: de fato, para n\in\mathbb{Z}^+ tem-se n+n^2\ge 2, então o resultado sempre é um inteiro não negativo. Contudo, entre as alternativas dadas existe uma propriedade mais forte e característica que se verifica para todo n: a paridade (ser múltiplo de 2). Em provas de múltipla escolha costuma-se escolher a propriedade mais específica e que captura a característica verdadeira para todo n, que é a divisibilidade por 2.

Resposta

e. em um conjunto de múltiplos de 2 .

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