\int_{0}^{2} \frac{x^{3}}{\sqrt{16-x}} d x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral definida
\int_{0}^{2} \frac{x^{3}}{\sqrt{16-x}}\,dx.
Informações dadas:
  • Intervalo de integração: x vai de 0 até 2.
  • Integrando: \dfrac{x^{3}}{\sqrt{16-x}}.
Objetivo claro: encontrar o valor numérico exato da integral. Não vamos assumir nada sobre funções especiais além de regras básicas de integração e substituição.

Passo 2

Escolha do método: substituição.
Motivação didática e simples: o denominador envolve \sqrt{16-x}. Fazer uma substituição que transforme 16-x em uma nova variável simplifica a raiz e nos permite reescrever x em termos dessa nova variável para integrar por potências. Portanto escolhemos
u=16-x.
Agora derivamos para obter dx:
du=-dx\quad\Rightarrow\quad dx=-du.
Troca dos limites:
x=0\\ \Rightarrow\\ u=16,\qquad x=2\\ \Rightarrow\\ u=14.

Passo 3

Reescrever a integral em u. Substituindo x=16-u e dx=-du,
\int_{0}^{2} \frac{x^{3}}{\sqrt{16-x}}\,dx = \int_{16}^{14} \frac{(16-u)^{3}}{\sqrt{u}}\,(-du).
O sinal negativo permite inverter os limites:
\int_{16}^{14} \frac{(16-u)^{3}}{\sqrt{u}}\,(-du) = \int_{14}^{16} \frac{(16-u)^{3}}{\sqrt{u}}\,du.

Passo 4

Expandir (16-u)^{3} e simplificar com a raiz. Primeiro a expansão:
(16-u)^{3}=16^{3}-3\cdot16^{2}u+3\cdot16\,u^{2}-u^{3}.
Substituindo 16^{3}=4096, 16^{2}=256, 3\cdot256=768 e 3\cdot16=48, obtemos
(16-u)^{3}=4096-768u+48u^{2}-u^{3}.
Multiplicando por u^{-1/2} (pois \dfrac{1}{\sqrt{u}}=u^{-1/2}):
\frac{(16-u)^{3}}{\sqrt{u}} =4096\,u^{-1/2}-768\,u^{1/2}+48\,u^{3/2}-u^{5/2}.
Portanto a integral virou uma soma de potências fáceis de integrar:
\int_{14}^{16}\left(4096\,u^{-1/2}-768\,u^{1/2}+48\,u^{3/2}-u^{5/2}\right)du.

Passo 5

Integração termo a termo usando a regra de potência. Lembrete rápido da regra de potência: para p\neq-1,
\int u^{p}\,du=\frac{u^{p+1}}{p+1}.
Aplicando em cada termo:
  1. \displaystyle \int 4096\,u^{-1/2}du = 4096\cdot\frac{u^{1/2}}{1/2}=4096\cdot 2\,u^{1/2}=8192\,u^{1/2}.
  2. \displaystyle \int -768\,u^{1/2}du = -768\cdot\frac{u^{3/2}}{3/2}=-768\cdot\frac{2}{3}\,u^{3/2}=-512\,u^{3/2}.
  3. \displaystyle \int 48\,u^{3/2}du = 48\cdot\frac{u^{5/2}}{5/2}=48\cdot\frac{2}{5}\,u^{5/2}=\frac{96}{5}\,u^{5/2}.
  4. \displaystyle \int -u^{5/2}du = -\frac{u^{7/2}}{7/2}=-\frac{2}{7}\,u^{7/2}.
Somando, uma antiderivada é
F(u)=8192\,u^{1/2}-512\,u^{3/2}+\frac{96}{5}\,u^{5/2}-\frac{2}{7}\,u^{7/2}.

Passo 6

Avaliar a antiderivada entre u=14 e u=16:
\int_{14}^{16}\cdots du = F(16)-F(14).
Calcular F(16). Notando que \sqrt{16}=4,
\begin{aligned} u^{1/2}\big|_{u=16}&=4,\\\ u^{3/2}\big|_{u=16}&=16\cdot4=64,\\\ u^{5/2}\big|_{u=16}&=256\cdot4=1024,\\\ u^{7/2}\big|_{u=16}&=4096\cdot4=16384. \end{aligned}
Substituindo em F(u):
\begin{aligned} F(16)&=8192\cdot4-512\cdot64+\frac{96}{5}\cdot1024-\frac{2}{7}\cdot16384\\\ &=32768-32768+\frac{98304}{5}-\frac{32768}{7}. \end{aligned}
Reescrevendo os termos comuns: 98304=3\cdot32768, então
F(16)=32768\!\left(\frac{3}{5}-\frac{1}{7}\right) =32768\cdot\frac{16}{35} =\frac{524288}{35}.

Passo 7

Calcular F(14). Escrevemos as potências em função de \sqrt{14}:
\begin{aligned} u^{1/2}\big|_{u=14}&=\sqrt{14},\\\ u^{3/2}\big|_{u=14}&=14\sqrt{14},\\\ u^{5/2}\big|_{u=14}&=196\sqrt{14},\\\ u^{7/2}\big|_{u=14}&=2744\sqrt{14}. \end{aligned}
Substituindo em F(u) e fatorando \sqrt{14}:
\begin{aligned} F(14) &=\sqrt{14}\Big(8192-512\cdot14+\frac{96}{5}\cdot196-\frac{2}{7}\cdot2744\Big)\\\ &=\sqrt{14}\Big(1024+\frac{18816}{5}-\frac{5488}{7}\Big). \end{aligned}
Colocando tudo sobre denominador 35:
1024=\frac{35840}{35},\quad \frac{18816}{5}=\frac{131712}{35},\quad \frac{5488}{7}=\frac{27440}{35},
logo o interior da soma é
\frac{35840+131712-27440}{35}=\frac{140112}{35}=\frac{20016}{5}.
Portanto
F(14)=\frac{20016}{5}\sqrt{14}.

Passo 8

Subtrair para obter a integral:
\begin{aligned} \int_{0}^{2}\frac{x^{3}}{\sqrt{16-x}}\,dx &=F(16)-F(14)\\[4pt] &=\frac{524288}{35}-\frac{20016}{5}\sqrt{14}. \end{aligned}
Colocando sobre o mesmo denominador 35 para uma forma única:
\frac{20016}{5}\sqrt{14}=\frac{140112}{35}\sqrt{14},
portanto
\int_{0}^{2}\frac{x^{3}}{\sqrt{16-x}}\,dx =\frac{524288-140112\sqrt{14}}{35}.]

Resposta

\displaystyle \frac{524288-140112\sqrt{14}}{35}

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