Determine
tais que:
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar elementos
em
tais que
e
. Vou interpretar
como o grupo das permutações dos três elementos
, isto é, o grupo simétrico
. Informações dadas:
- Queremos
. - A condição imposta é
e .
O que o problema realmente está pedindo: apresentar permutações não triviais emcuja terceira potência seja a identidade.
Passo 2
Explicando o que são as permutações e a notação de ciclos (passo-a-passo, sem assumir que já sabe).
- Uma permutação de
é uma bijeção que reordena os elementos. O conjunto de todas as permutações forma o grupo com a operação composição. - Notação de ciclos:
significa que a permutação envia , e ; elementos não mencionados ficam fixos. - A identidade
é a permutação que deixa tudo no lugar: , , . - A ordem de uma permutação é o menor inteiro positivo
tal que . Se e , então a ordem de é exatamente .
Passo 3
Mostrando que um ciclo de comprimento
tem ordem
(a ideia geral).
- Tome uma permutação
com distintos. - Aplica-se
uma vez: . - Aplica-se
duas vezes: . - Aplica-se
três vezes: . - O mesmo acontece para
e . Assim é a identidade no subconjunto , logo . - Conclusão: qualquer 3-ciclo tem ordem
e satisfaz e não é a identidade.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso concreto em
: listar os 3-ciclos possíveis.
- Em
os únicos 3-ciclos possíveis sobre são e . - Vamos tomar
. Para verificar passo a passo: Então e Ou seja, . Além disso , portanto .
Passo 5
Escolhendo
e mostrando alternativas / relação entre as 3-ciclos.
- A outra 3-ciclo é
. Fazendo contas análogas chega-se a e . - Note que
e ; os dois são os elementos de ordem em . Não existem outros elementos de ordem em .
Passo 6
Resumo prático para usar em prova (receita rápida):
- Em
os elementos com e são exatamente os 3-ciclos. - Dois exemplos concretos que pode escrever imediatamente na prova são
e .