Determine f, g \in S^{3} tais que:
f \neq e, f^{3}=e.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar elementos f,g em S^{3} tais que f\neq e e f^{3}=e. Vou interpretar S^{3} como o grupo das permutações dos três elementos \{1,2,3\}, isto é, o grupo simétrico S_3. Informações dadas:
  • Queremos f,g\in S_3.
  • A condição imposta é f\neq e e f^{3}=e.
    O que o problema realmente está pedindo: apresentar permutações não triviais em S_3 cuja terceira potência seja a identidade.

Passo 2

Explicando o que são as permutações e a notação de ciclos (passo-a-passo, sem assumir que já sabe).
  • Uma permutação de \{1,2,3\} é uma bijeção que reordena os elementos. O conjunto de todas as permutações forma o grupo S_3 com a operação composição.
  • Notação de ciclos: (a\,b\,c) significa que a permutação envia a\mapsto b, b\mapsto c e c\mapsto a; elementos não mencionados ficam fixos.
  • A identidade e é a permutação que deixa tudo no lugar: e(1)=1, e(2)=2, e(3)=3.
  • A ordem de uma permutação é o menor inteiro positivo m tal que f^{m}=e. Se f^{3}=e e f\neq e, então a ordem de f é exatamente 3.

Passo 3

Mostrando que um ciclo de comprimento 3 tem ordem 3 (a ideia geral).
  • Tome uma permutação f=\,(a\,b\,c) com a,b,c distintos.
  • Aplica-se f uma vez: a\mapsto b.
  • Aplica-se f duas vezes: a\mapsto f(b)=c.
  • Aplica-se f três vezes: a\mapsto f\text{(c)}=a.
  • O mesmo acontece para b e c. Assim f^{3} é a identidade no subconjunto \{a,b,c\}, logo f^{3}=e.
  • Conclusão: qualquer 3-ciclo tem ordem 3 e satisfaz f^{3}=e e não é a identidade.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso concreto em S_3: listar os 3-ciclos possíveis.
  • Em S_3 os únicos 3-ciclos possíveis sobre \{1,2,3\} são (1\,2\,3) e (1\,3\,2).
  • Vamos tomar f=\,(1\,2\,3). Para verificar passo a passo: f(1)=2,\qquad f(2)=3,\qquad f(3)=1.Então f^2(1)=f(f(1))=f(2)=3,\qquad f^2(2)=1,\qquad f^2(3)=2,e f^3(1)=f(f^2(1))=f(3)=1,\qquad f^3(2)=2,\qquad f^3(3)=3.Ou seja, f^3=e. Além disso f(1)=2\neq1, portanto f\neq e.

Passo 5

Escolhendo g e mostrando alternativas / relação entre as 3-ciclos.
  • A outra 3-ciclo é g=\,(1\,3\,2). Fazendo contas análogas chega-se a g^3=e e g\neq e.
  • Note que g=f^2 e f=g^2; os dois são os elementos de ordem 3 em S_3. Não existem outros elementos de ordem 3 em S_3.

Passo 6

Resumo prático para usar em prova (receita rápida):
  • Em S_3 os elementos com f^3=e e f\neq e são exatamente os 3-ciclos.
  • Dois exemplos concretos que pode escrever imediatamente na prova são (1\,2\,3) e (1\,3\,2).

Resposta

f=(1\,2\,3)
g=(1\,3\,2)

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