O conjunto de todos os pontos equidistantes de dois pontos A e B dados é chamado reta mediatriz do segmento A B. Esboce e determine a equação reduzida da mediatriz do segmento A B de dois modos:
(i) igualando a distância do ponto P(x, y) a A e B e simplificando a equação obtida;
(ii) usando o ponto médio do segmento A B e um coeficiente angular adequado.
A(-1,-3) e B(5,-1)

Passo 1

O enunciado pede a reta mediatriz do segmento que une A(-1,-3) e B(5,-1). Isso envolve dois conteúdos principais de geometria analítica:
1. Igualdade de distâncias em R^2 (fórmula do ponto genérico P(x,y)).
2. Uso do ponto médio e do coeficiente angular para uma reta perpendicular.

Passo 2

Método (i): igualando distâncias PA=PB.
PA^2=(x+1)^2+(y+3)^2, PB^2=(x-5)^2+(y+1)^2
Impondo PA^2=PB^2:
(x+1)^2+(y+3)^2=(x-5)^2+(y+1)^2
Expandindo e simplificando:
x^2+2x+1 + y^2+6y+9 = x^2-10x+25 + y^2+2y+1,
2x+6y+10 = -10x+2y+26 ;Longrightarrow; 12x+4y-16=0 ;Longrightarrow; 3x+y-4=0,
ou seja
y = -3x +4

Passo 3

Método (ii): ponto médio e coeficiente angular perpendicular.
O ponto médio é
Ml(tfrac-1+52,,tfrac-3+(-1)2r)=(2,-2)
A inclinação de AB é
mAB=-1-(-3)5-(-1)=26=tfrac13,
logo a reta mediatriz, sendo perpendicular, tem coeficiente
mperp=-1mAB=-3
Usando a forma ponto– inclinação em M:
y-(-2)=-3l(x-2r) ;Longrightarrow; y+2=-3x+6 ;Longrightarrow; y=-3x+4

Passo 4

Esboço da mediatriz:
  • Marque A(-1,-3), B(5,-1) e o ponto médio M(2,-2).
  • A mediatriz é a reta de declive -3 que passa por M.
  • Essa reta intercepta o eixo y em (0,4) e o x em l(tfrac43,0r).

Resposta

A equação reduzida da mediatriz é
boxedy = -3x + 4

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