O conjunto de todos os pontos equidistantes de dois pontos A e B dados é chamado reta mediatriz do segmento A B. Esboce e determine a equação reduzida da mediatriz do segmento A B de dois modos:
(i) igualando a distância do ponto P(x, y) a A e B e simplificando a equação obtida;
(ii) usando o ponto médio do segmento A B e um coeficiente angular adequado.
A(2,4) e B(-6,-2)

Passo 1

Temos os pontos A(2,4) e B(-6,-2) e queremos a equação reduzida da mediatriz de AB. Vamos usar dois métodos complementares:
1 Igualar a distância de um ponto genérico P(x,y) a A e a B e simplificar a relação.
2 Calcular o ponto médio de AB e obter o coeficiente angular da reta AB para achar o coeficiente perpendicular e, então, montar a reta pela forma ponto\mbox{-}inclinação.

Passo 2

Método (i): igualando as distâncias PA e PB.
Elevamos ao quadrado a igualdade
raiz(x-2)^2+(y-4)^2 ;=;raiz(x+6)^2+(y+2)^2
ficando
(x-2)^2+(y-4)^2 ;=;(x+6)^2+(y+2)^2
Expandindo ambos os lados, obtemos
x^2-4x+4 ;+;y^2-8y+16 ;=;x^2+12x+36 ;+;y^2+4y+4
Cancelando x^2 e y^2 e agrupando termos, chega\mbox{-}se a
-4x-8y+20 ;=;12x+4y+40 Longrightarrow -16x-12y-20=0
Multiplicando por -1 e dividindo por 4, a forma mais simples é
4x+3y+5=0 Long<=ftrightarrow y=-tfrac43x-tfrac53

Passo 3

Método (ii): ponto médio e coeficiente angular perpendicular.
O ponto médio de AB é
Ml(tfrac2+(-6)2,,tfrac4+(-2)2r)=(-2,1)
O coeficiente angular de AB vale
mAB=-2-4-6-2=-6-8=tfrac34,
portanto o coeficiente perpendicular é
mperp=-1mAB=-tfrac43
Usando a forma ponto\mbox{-}inclinação com M,
y-1=-tfrac43(x+2)
Desenvolvendo e simplificando, chega\mbox{-}se novamente a
y=-tfrac43x-tfrac53 Long<=ftrightarrow 4x+3y+5=0

Resposta

A equação reduzida da mediatriz de AB é
boxed4x+3y+5=0 ou boxedy=-43x-53

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