O conjunto de todos os pontos equidistantes de dois pontos A e B dados é chamado reta mediatriz do segmento A B. Esboce e determine a equação reduzida da mediatriz do segmento A B de dois modos:
(i) igualando a distância do ponto P(x, y) a A e B e simplificando a equação obtida;
(ii) usando o ponto médio do segmento A B e um coeficiente angular adequado.
A(-3,-2) e B(-3,5)

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(-3,-2) e B(-3,5) e pede a equação reduzida da mediatriz do segmento AB. O conteúdo é geometria analítica no plano, mais especificamente o lugar geométrico dos pontos equidistantes de A e B. Para resolver precisamos:
(i) usar a definição de distâncias iguais de um ponto P(x,y) a A e a B e simplificar a equação;
(ii) usar o ponto médio de AB e determinar o coeficiente angular da reta mediatriz (perpendicular a AB).

Passo 2

No método (i) tomamos um ponto genérico P(x,y) e igualamos as distâncias a A e a B:
raiz(x-(-3))^2+(y-(-2))^2 ;=;raiz(x-(-3))^2+(y-5)^2
Elevando ao quadrado e cancelando termos iguais,
(x+3)^2+(y+2)^2 = (x+3)^2+(y-5)^2 Longrightarrow (y+2)^2=(y-5)^2
Expandindo ambos os lados,
y^2+4y+4 = y^2 -10y +25 Longrightarrow 14y = 21 Longrightarrow y = tfrac32

Passo 3

No método (ii) primeiro achamos o ponto médio M de AB:
Ml(tfrac-3-32,,tfrac-2+52r) = (-3,tfrac32)
O coeficiente angular de AB é
mAB = 5-(-2)-3-(-3) = 70,
ou seja, reta vertical. A mediatriz é perpendicular a essa reta, logo é reta horizontal, com coeficiente angular m=0, passando por M. Portanto sua equação é
y = yM = tfrac32

Resposta

A equação reduzida da mediatriz de AB é
y = tfrac32

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