conjunto de todos os pontos equidistantes de dois pontos
e
dados é chamado reta mediatriz do segmento
. Esboce e determine a equação reduzida da mediatriz do segmento
de dois modos:
(i) igualando a distância do ponto
a
e
e simplificando a equação obtida;
(ii) usando o ponto médio do segmento
e um coeficiente angular adequado.
e
(i) igualando a distância do ponto
(ii) usando o ponto médio do segmento
Passo 1
O enunciado pede a mediatriz do segmento
com
e
. A mediatriz é o lugar geométrico dos pontos
tais que
. Vamos achar sua equação de dois jeitos:
- Igualando as distâncias
e simplificando. - Usando o ponto médio de
e o coeficiente angular de uma reta perpendicular a .
Observação do esboço: comoe têm , o segmento é vertical, e sua mediatriz será uma reta horizontal cortando o segmento em seu ponto médio.
Passo 2
Método (i): escrevemos a condição de equidistância pela fórmula das distâncias
Igualando e elevando ao quadrado para eliminar as raízes:
Passo 3
Cancelamos
dos dois lados e expandimos:
Isolando
:
Passo 4
Método (ii): primeiro encontramos o ponto médio
de
:
O coeficiente angular de
é
(reta vertical), então a reta perpendicular tem coeficiente
(reta horizontal). A equação reduzida de uma reta horizontal por
é
Resposta
A mediatriz de
é a reta