O conjunto de todos os pontos equidistantes de dois pontos A e B dados é chamado reta mediatriz do segmento A B. Esboce e determine a equação reduzida da mediatriz do segmento A B de dois modos:
(i) igualando a distância do ponto P(x, y) a A e B e simplificando a equação obtida;
(ii) usando o ponto médio do segmento A B e um coeficiente angular adequado.
A(3,-2) e B(3,7)

Passo 1

O enunciado pede a mediatriz do segmento AB com A(3,-2) e B(3,7). A mediatriz é o lugar geométrico dos pontos P(x,y) tais que PA=PB. Vamos achar sua equação de dois jeitos:
  1. Igualando as distâncias ,PA=PB e simplificando.
  2. Usando o ponto médio de AB e o coeficiente angular de uma reta perpendicular a AB.
    Observação do esboço: como A e B têm x=3, o segmento AB é vertical, e sua mediatriz será uma reta horizontal cortando o segmento em seu ponto médio.

Passo 2

Método (i): escrevemos a condição de equidistância pela fórmula das distâncias
PA = raiz(x-3)^2 + (y+2)^2, PB = raiz(x-3)^2 + (y-7)^2
Igualando e elevando ao quadrado para eliminar as raízes:
(x-3)^2 + (y+2)^2 = (x-3)^2 + (y-7)^2

Passo 3

Cancelamos (x-3)^2 dos dois lados e expandimos:
(y+2)^2 = (y-7)^2 Longrightarrow y^2 +4y +4 = y^2 -14y +49
Isolando y:
4y +4 = -14y +49 Longrightarrow 18y = 45 Longrightarrow y = 4518 = 52

Passo 4

Método (ii): primeiro encontramos o ponto médio M de AB:
Ml(tfrac3+32,,tfrac-2+72r) = l(3,tfrac52r)
O coeficiente angular de AB é infty (reta vertical), então a reta perpendicular tem coeficiente m=0 (reta horizontal). A equação reduzida de uma reta horizontal por M é
y = tfrac52

Resposta

A mediatriz de AB é a reta
y = 52

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