Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de
ao ano. Qual é o menor número inteiro de anos necessários para que o montante dessa operação seja: o quíntuplo do capital?
Passo 1
Resumindo o enunciado: um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 20% ao ano. Queremos encontrar o menor número inteiro de anos para que o montante seja cinco vezes o capital. Vamos usar a fórmula de montante em juros compostos e propriedades de logaritmos.
Passo 2
Na teoria de juros compostos, o montante M após n anos é dado por
onde C é o capital inicial e i a taxa de juros. Aqui i = 0,20.
Passo 3
Para que o montante seja cinco vezes o capital, devemos ter
Passo 4
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos:
Pela propriedade
Passo 5
Isolando n, temos
Calculando numericamente:
Passo 6
Como queremos o menor número inteiro que satisfaz a desigualdade, tomamos
Resposta
9 anos