Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 20 % ao ano. Qual é o menor número inteiro de anos necessários para que o montante dessa operação seja: o quíntuplo do capital?

Passo 1

Resumindo o enunciado: um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 20% ao ano. Queremos encontrar o menor número inteiro de anos para que o montante seja cinco vezes o capital. Vamos usar a fórmula de montante em juros compostos e propriedades de logaritmos.

Passo 2

Na teoria de juros compostos, o montante M após n anos é dado por
M = C,(1 + i)^n
onde C é o capital inicial e i a taxa de juros. Aqui i = 0,20.

Passo 3

Para que o montante seja cinco vezes o capital, devemos ter
MC = (1,2)^n >= 5

Passo 4

Aplicando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos:
lnl((1,2)^nr) >= ln(5)
Pela propriedade ln(a^n) = nln(a), isso vira:
n,ln(1,2) >= ln(5)

Passo 5

Isolando n, temos
n >= ln(5)ln(1,2)
Calculando numericamente: ln(5) approx 1,609 e ln(1,2) approx 0,182, logo
n >= 1,6090,182 approx 8,84

Passo 6

Como queremos o menor número inteiro que satisfaz a desigualdade, tomamos
n = 9

Resposta

9 anos

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