Dê o conjunto de todos os valores de m para os quais a função
f(x)=x^2+(2 m+3) x+(m^2+3)raizx^2+(2 m+3) x+(m^2+2)
está definida e é não negativa para todo x real.

Passo 1

A questão dá a função
f(x)=x^2+(2m+3)x+(m^2+3)raizx^2+(2m+3)x+(m^2+2)
queremos o conjunto de todos os valores de m tais que
  1. o denominador exista para todo xin R, ou seja, o polinômio dentro da raiz seja estritamente positivo em todo x, e
  2. a função seja não negativa para todo x, isto é, o numerador seja sempre >=0.

Passo 2

Para garantir que o denominador esteja definido para todo x, o discriminante de
Q(x)=x^2+(2m+3)x+(m^2+2)
deve ser negativo. Calculando
De
impondo De obtemos
12m+1<0Longrightarrow m< -tfrac112

Passo 3

Para garantir que o numerador
N(x)=x^2+(2m+3)x+(m^2+3)
seja sempre não negativo, seu discriminante deve ser não positivo. Calculando
De
e impondo De temos
12m-3<=0Longrightarrow m<=tfrac14

Passo 4

Agora intersectamos as duas condições:
m< -tfrac112 e m<=tfrac14. Como o primeiro já é mais restritivo, o conjunto de soluções é o intervalo:
(-infty, -tfrac112)

Resposta

(-\infty, -1/12)

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