Dê o domínio natural da função
.
Passo 1
O exercício pede o domínio da função
O conteúdo aqui envolve condições de existência de raiz quadrada, logaritmo e sinal de uma função racional.
Passo 2
Primeiro, a raiz quadrada impõe que o radicando seja não negativo. Definimos
Precisamos de
Esse é um polinômio de 2º grau com coeficiente de
positivo (
), então ele é não negativo fora do intervalo entre as raízes. O discriminante é
as raízes são
isto é,
e
. Logo
Passo 3
Em seguida, para o logaritmo fazermos sentido precisamos que o argumento seja estritamente positivo:
Como
Queremos
e ainda
para não anular o denominador.
Passo 4
O polinômio
é uma parábola que abre para baixo (coeficiente de
é
). Suas raízes são
e
, portanto
Passo 5
Para a raiz interna não ser zero (pois
não existe), precisamos também de
estritamente. Assim refinamos
Passo 6
Por fim, intersectamos as condições:
De vem
, e de
vem
.
A interseção é
De
A interseção é
Resposta
O domínio natural é
.