Dê o domínio natural da função
f(x)=ln (raizpi x^2-(1+pi^2) x+pi-2 x^2+3 pi x).

Passo 1

O exercício pede o domínio da função
f(x)=lnl(raizpi x^2-(1+pi^2)x+pi-2x^2+3pi xr)
O conteúdo aqui envolve condições de existência de raiz quadrada, logaritmo e sinal de uma função racional.

Passo 2

Primeiro, a raiz quadrada impõe que o radicando seja não negativo. Definimos
A(x)=pi x^2-(1+pi^2)x+pi
Precisamos de
A(x)>=0
Esse é um polinômio de 2º grau com coeficiente de x^2 positivo ( pi>0), então ele é não negativo fora do intervalo entre as raízes. O discriminante é
De
as raízes são
x=(1+pi^2)pm(pi^2-1)2pi,
isto é, x=1/pi e x=pi. Logo
A(x)>=0Long<=ftrightarrow x<=tfrac1pi;ou;x>=pi

Passo 3

Em seguida, para o logaritmo fazermos sentido precisamos que o argumento seja estritamente positivo:
raizA(x)-2x^2+3pi x>0
Como raizA(x)>=0, o sinal da fração vem só do denominador. Definimos
B(x)=-2x^2+3pi x=x(-2x+3pi)
Queremos B(x)>0 e ainda B(x)neq0 para não anular o denominador.

Passo 4

O polinômio B(x) é uma parábola que abre para baixo (coeficiente de x^2 é -2). Suas raízes são x=0 e x=3pi/2, portanto
B(x)>0Long<=ftrightarrow 0

Passo 5

Para a raiz interna não ser zero (pois ln0 não existe), precisamos também de A(x)>0 estritamente. Assim refinamos
A(x)>0Long<=ftrightarrow xpi

Passo 6

Por fim, intersectamos as condições:
De B(x)>0 vem xin(0,3pi/2), e de A(x)>0 vem xin(-infty,1/pi)cup(pi,infty).
A interseção é
xin(0,tfrac1pi);cup;(pi,tfrac3pi2)

Resposta

O domínio natural é (0,tfrac1pi)cup(pi,tfrac3pi2).

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