Seja f:[0,2] R definida por
f(x)=3-x+2 x^2-x^3
Sabendo-se que o valor máximo de f é M e o valor mínimo de f é m, M m é igual a

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: Precisamos encontrar o valor máximo (M) e mínimo (m) da função f:[0,2]toR dada por f(x)=3 - x + 2x^2 - x^3. O conteúdo é cálculo de extremos em intervalo fechado, e vamos usar a derivada de f para achar pontos críticos e depois avaliar f nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Cálculo da derivada: Para encontrar pontos críticos usamos a condição f'(x)=0. Calculamos
f'(x)=ddx(3 - x + 2x^2 - x^3)=-1+4x-3x^2

Passo 3

Encontrar pontos críticos: Resolvendo f'(x)=0 temos
-1+4x-3x^2=0 Longrightarrow 3x^2-4x+1=0
O discriminante é De, de onde as raízes são
x=4pm22cdot3=1,tfrac13

Passo 4

Avaliação de f em candidatos: Vamos avaliar f(x) em x=0,,x=tfrac13,,x=1,,x=2:
f(0)=3-0+0-0=3,
fl(tfrac13r)=3-tfrac13+2l(tfrac19r)-l(tfrac127r)=7727approx2,85,
f(1)=3-1+2-1=3,
f(2)=3-2+8-8=1

Passo 5

Identificação de máximos, mínimos e cálculo de Mcdot m: Os valores encontrados são 3,tfrac7727,3,1. Logo o máximo em [0,2] é M=3 e o mínimo é m=1. Portanto
M,m=3cdot1=3

Resposta

3

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