A função f: R R é derivável e tem f(3)=1 e f^prime(3)=-2.
A função g(x)=x^2 cdot f(x^2-1) tem g^prime(2) igual a

Passo 1

A função dada é f: ℝ→ℝ derivável com f(3)=1 e f′(3)=−2, e definimos g(x)=x²·f(x²−1). Precisamos de g′(2). Vamos usar regra do produto e regra da cadeia para derivar g.

Passo 2

Chamando h(x)=x²−1, temos g(x)=x²·f(h(x)). Pela regra do produto e da cadeia,
g'(x)=ddx[x²]cdot f(h(x))+x²cdot ddx[f(h(x))] =2x,f(x²-1)+x²,f'(x²-1)cdot 2x ²²²²²

Passo 3

Agora basta avaliar em x=2 e usar f(3)=1 e f′(3)=−2:
g'(2)=2cdot2,f(2²-1)+2²,f'(2²-1)cdot2cdot2 =4cdot f(3)+4cdot f'(3)cdot2 =4cdot1+4cdot(-2)cdot2 =4-16 =-12 ²²²

Resposta

-12

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