O conjunto
e simplesmente conexo.
CERTO ERRADO
CERTO ERRADO
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos o conjunto
e precisamos verificar se ele é simplesmente conexo. Para isso, vamos precisar saber o que significa um conjunto ser simplesmente conexo e entender um pouco sobre topologia no plano.
Passo 2
O que é simplesmente conexo? Um conjunto no plano é simplesmente conexo se ele não tem “buracos”, ou seja, se qualquer caminho fechado dentro do conjunto pode ser deformado continuamente para um ponto dentro desse conjunto. Em termos mais simples, não deve haver obstáculos que impeçam essa deformação.
Passo 3
Vamos visualizar o conjunto
. Esse conjunto descreve uma faixa horizontal infinita no plano cartesiano, limitada pelas linhas horizontais
e
. Não há interrupções ou buracos nessa faixa; ela se estende indefinidamente na direção do eixo
.
Passo 4
Para verificar se essa faixa é simplesmente conexa, precisamos ver se é possível contrair qualquer laço dentro dela a um ponto sem sair da faixa. Como a faixa é contínua e não possui buracos, qualquer laço que você desenhe nela pode ser mapeado para um ponto dentro da própria faixa.
Passo 5
Além disso, sabemos que conjuntos convexos no plano são simplesmente conexos. Embora nossa faixa não seja estritamente convexa devido à sua extensão infinita, ela é “simplesmente conectada” no sentido de que não há obstáculos ou buracos que impediriam a contração de um laço a um ponto.
Passo 6
Portanto, como a faixa
não possui buracos e qualquer caminho fechado nela pode ser contraído a um ponto sem sair do conjunto, concluímos que ela é simplesmente conexa.
Resposta
Certo