Encontre f^prime(x).
f) f(x)=sen xx^2+sen x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=sin xx^2+sin x. O conteúdo aqui é diferenciação de quociente, e vamos precisar da regra do quociente junto com as derivadas de sin x e de x^2.

Passo 2

Vamos chamar u(x)=sin x e v(x)=x^2+sin x. Assim, temos as derivadas u'(x)=cos x e v'(x)=2x+cos x.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente l(tfracuvr)'=tfracu'v - u v'v^2, obtemos:
f'(x)=cos x,(x^2+sin x)-sin x,(2x+cos x)(x^2+sin x)^2

Passo 4

Para simplificar o numerador, distribuímos e cancelamos termos:
cos x,x^2+cos x,sin x -2x,sin x -sin x,cos x = x^2cos x -2x,sin x

Passo 5

Fatorando x no numerador, chegamos à forma final:
f'(x)=xl(xcos x-2sin xr)(x^2+sin x)^2

Resposta

f'(x)=xl(xcos x-2sin xr)(x^2+sin x)^2

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