Quais dos conjuntos abaixo são linearmente dependentes e quais são linearmente independentes:
D=(x^2-x+1),(x^2+2 x).

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
D = ,x^2-x+1,;x^2+2x
no espaço vetorial dos polinômios de grau <=2. Precisamos verificar se existe combinação linear não trivial desses polinômios que resulte no polinômio zero. Para isso, vamos usar o fato de que dois vetores (aqui, polinômios) são linearmente dependentes se e somente se existem escalares não todos nulos que anulem sua combinação.

Passo 2

Considere a combinação linear genérica
a,(x^2-x+1) ;+; b,(x^2+2x) ;=; 0,
onde 0 é o polinômio zero. Vamos expandir o lado esquerdo:

Passo 3

Expandindo,
a,x^2 - a,x + a ;+; b,x^2 + 2b,x ;=;(a+b),x^2 +(-a+2b),x + a
Para que isso seja o polinômio zero, cada coeficiente deve ser zero, dando o sistema
a + b = 0, -,a + 2b = 0, a = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema: da terceira equação vem a=0. Substituindo em a+b=0 b=0. Essa é a única solução, ou seja, a combinação trivial.

Resposta

O conjunto D é linearmente independente.

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