Quais dos conjuntos abaixo são linearmente dependentes e quais são linearmente independentes: .
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
no espaço vetorial dos polinômios de grau . Precisamos verificar se existe combinação linear não trivial desses polinômios que resulte no polinômio zero. Para isso, vamos usar o fato de que dois vetores (aqui, polinômios) são linearmente dependentes se e somente se existem escalares não todos nulos que anulem sua combinação.
Passo 2
Considere a combinação linear genérica
onde é o polinômio zero. Vamos expandir o lado esquerdo:
Passo 3
Expandindo,
Para que isso seja o polinômio zero, cada coeficiente deve ser zero, dando o sistema
Passo 4
Resolvendo o sistema: da terceira equação vem a=0. Substituindo em a+b=0 dá b=0. Essa é a única solução, ou seja, a combinação trivial.