Mostre que o conjunto A=(cc2 & 3 -1 & 0),(ll1 & -1 0 & -2),(cc-3 & -2 1 & -1),(cc3 & -7 -2 & 5) é linearmente independente.

Passo 1

O conjunto
A=M1,M2,M3,M4
onde
M1=2&3-1&0,; M2=1&-10&-2,; M3=-3&-21&-1,; M4=3&-7-2&5,
está em M2times2(R), que tem dimensão 4. Para mostrar que A é linearmente independente, basta verificar que a única solução do sistema
alpha,M1+beta,M2+gamma,M3+de<a,M4 =0&00&0
é alpha=beta=gamma=de<a=0.

Passo 2

Escrevendo a combinação
alpha2&3-1&0 +beta1&-10&-2 +gamma-3&-21&-1 +de<a3&-7-2&5 =0&00&0,
igualamos entrada a entrada e obtemos o sistema de equações lineares:
2alpha +beta -3gamma +3de<a =0, 3alpha -beta -2gamma -7de<a =0, -alpha +gamma -2de<a =0, -2beta -gamma +5de<a =0

Passo 3

Da terceira equação -alpha+gamma-2de<a=0 segue
gamma=alpha+2de<a
Da quarta equação -2beta-gamma+5de<a=0 obtemos
2beta=-gamma+5de<a Longrightarrow beta=-gamma+5de<a2 =-(alpha+2de<a)+5de<a2 =-alpha+3de<a2

Passo 4

Substituindo beta e gamma na primeira equação
2alpha+beta-3gamma+3de<a=0
temos
2alpha+-alpha+3de<a2-3(alpha+2de<a)+3de<a=0
Multiplicando por 2 e simplificando dá -3alpha-3de<a=0, ou seja
alpha+de<a=0 Longrightarrow alpha=-de<a
Logo
gamma=alpha+2de<a=-de<a+2de<a=de<a, beta=-alpha+3de<a2 =-(-de<a)+3de<a2 =4de<a2=2de<a
Agora substituímos tudo na segunda equação
3alpha-beta-2gamma-7de<a=0
e obtemos
3(-de<a)-2de<a-2de<a-7de<a=-14de<a=0 Longrightarrow de<a=0
Assim de<a=0 implica alpha=beta=gamma=0.

Passo 5

Como a única solução é alpha=beta=gamma=de<a=0, concluímos que o conjunto A é linearmente independente.

Resposta

O conjunto A é linearmente independente.

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