Determine o valor para o conjuntos seja linearmente dependente.
Passo 1
Vamos olhar para a pergunta: precisamos achar o valor de k tal que as três matrizes
formem um conjunto linearmente dependente. O conteúdo aqui é combinação linear em um espaço vetorial de matrizes.
Passo 2
Primeiro, a gente interpreta cada matriz 2×2 como um vetor em R^4. Se empilhamos as entradas na ordem (linha-coluna) temos:
v1=(1,0,1,0), v2=(1,1,0,0), v3=(2,-1,k,0)
Passo 3
Para testar dependência linear, montamos a equação
a,v1 + b,v2 + c,v3 = (0,0,0,0),
o que gera um sistema em a,b,c. Da soma das componentes obtemos:
a + b + 2c = 0, b - c = 0, a + k c = 0
Passo 4
Como queremos uma solução \emph{não trivial} (isto é, não só a=b=c=0), impomos que o determinante da matriz dos coeficientes seja zero. A matriz desse sistema é
A = 1 & 1 & 2 0 & 1 & -1 1 & 0 & k
Passo 5
Calculando o determinante:
det(A) = 1cdotdet1 & -10 & k -1cdotdet0 & -11 & k +2cdotdet0 & 11 & 0