Determine o valor k para o conjuntos A=(ll1 & 0 1 & 0)(ll1 & 1 0 & 0)(cc2 & -1 k & 0) seja linearmente dependente.

Passo 1

Vamos olhar para a pergunta: precisamos achar o valor de k tal que as três matrizes
formem um conjunto linearmente dependente. O conteúdo aqui é combinação linear em um espaço vetorial de matrizes.

Passo 2

Primeiro, a gente interpreta cada matriz 2×2 como um vetor em R^4. Se empilhamos as entradas na ordem (linha-coluna) temos:
v1=(1,0,1,0), v2=(1,1,0,0), v3=(2,-1,k,0)

Passo 3

Para testar dependência linear, montamos a equação
a,v1 + b,v2 + c,v3 = (0,0,0,0),
o que gera um sistema em a,b,c. Da soma das componentes obtemos:
a + b + 2c = 0, b - c = 0, a + k c = 0

Passo 4

Como queremos uma solução \emph{não trivial} (isto é, não só a=b=c=0), impomos que o determinante da matriz dos coeficientes seja zero. A matriz desse sistema é
A = 1 & 1 & 2 0 & 1 & -1 1 & 0 & k

Passo 5

Calculando o determinante:
det(A) = 1cdotdet1 & -10 & k -1cdotdet0 & -11 & k +2cdotdet0 & 11 & 0
Cada menor é:
det1 & -10 & k=k, det0 & -11 & k=1, det0 & 11 & 0=-1
Logo
det(A)=1cdot k -1cdot1 +2cdot(-1)=k-1-2=k-3

Passo 6

Para ter solução não trivial precisamos de det(A)=0, ou seja
k-3=0implies k=3

Resposta

k=3

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