Os conjuntos abaixo são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.)? Justifique.
S=(rr-1 & 1 0 & 0),(rr2 & 0 -1 & 0), V=M2(R).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = -1 & 1 [4pt] 0 & 0,;2 & 0 [4pt] -1 & 0
é linearmente independente ou dependente em V = M2(R). Para isso, vamos usar a definição de independência linear: checar se a única combinação linear que dá a matriz zero é a combinação em que todos os coeficientes são zero.]

Passo 2

Denotemos
A = -1 & 1 0 & 0, B = 2 & 0 -1 & 0
Considere uma combinação linear genérica
alpha A + beta B = 02times2,
isto é,
alpha-1 & 1 0 & 0 + beta2 & 0 -1 & 0 = 0 & 0 0 & 0

Passo 3

Igualando as entradas correspondentes, obtemos o sistema
-,alpha + 2beta = 0, &(entrada (1,1)) alpha = 0, &(entrada (1,2)) -,beta = 0, &(entrada (2,1)) 0 = 0 &(entrada (2,2), trivial)
Das duas últimas equações vem beta=0 e da segunda vem alpha=0. Substituindo em -alpha+2beta=0 confirma-se 0=0.

Passo 4

Como a única solução do sistema é alpha=0 e beta=0, pela definição S é linearmente independente.

Resposta

O conjunto S é linearmente independente.

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