Identificar as quádricas representadas pelas equações seguintes, determinando seus traços com planos paralelos aos planos coordenados.
-x^2+4 y^2+z^2=0.

Passo 1

O enunciado dá a superfície quádricas definida pela equação
-x^2+4y^2+z^2=0
e pede (1) identificar seu tipo e (2) determinar os seus traços em planos paralelos aos planos coordenados. Para isso vamos usar classificação pelo sinal da forma quadrática (assinatura) e depois substituir x=k, y=k e z=k.

Passo 2

Observamos que a equação é homogênea de grau 2 e a forma quadrática associada tem sinais -, +, +. Como a soma das entradas não nulas é zero (uma negativa e duas positivas) e ela vale 0, trata-se de um cone duplo com vértice na origem.

Passo 3

Traços com plano paralelo ao plano yz (isto é, x=k):
Substituindo x=k na equação obtemos
4y^2+z^2=k^2
Para kneq0 isto é uma elipse de semi-eixos tfrac|k|2 em y e |k| em z. Para k=0 a curva degenerada é apenas o ponto (0,0,0).

Passo 4

Traços com plano paralelo ao plano xz (isto é, y=k):
Substituindo y=k na equação obtemos
-x^2+z^2+4k^2=0 Long<=ftrightarrow z^2-x^2=-4k^2 Long<=ftrightarrow x^2-z^2=4k^2
Para kneq0 isto é uma hipérbole (eixo transverso em x). Para k=0 temos a hipérbole degenerada
x^2-z^2=0,
isto é, as retas x=pm z no plano y=0.

Passo 5

Traços com plano paralelo ao plano xy (isto é, z=k):
Substituindo z=k na equação obtemos
-x^2+4y^2+k^2=0 Long<=ftrightarrow 4y^2-x^2=-k^2 Long<=ftrightarrow x^2-4y^2=k^2
Para kneq0 também é uma hipérbole (eixo transverso em x). Para k=0 dá a hipérbole degenerada
x^2-4y^2=0,
ou seja, as retas x=pm2y no plano z=0.

Resposta

A superfície é um cone duplo (quádricas cônicas) de vértice na origem.
Se x=k: elipses 4y^2+z^2=k^2 (pontual se k=0).
Se y=k: hipérboles x^2-z^2=4k^2 (retas x=pm z se k=0).
Se z=k: hipérboles x^2-4y^2=k^2 (retas x=pm2y se k=0).

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