Identificar as quádricas representadas pelas equações seguintes, determinando seus traços com planos paralelos aos planos coordenados.
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície quádricas definida pela equação
e pede (1) identificar seu tipo e (2) determinar os seus traços em planos paralelos aos planos coordenados. Para isso vamos usar classificação pelo sinal da forma quadrática (assinatura) e depois substituir
,
e
.
Passo 2
Observamos que a equação é homogênea de grau 2 e a forma quadrática associada tem sinais
. Como a soma das entradas não nulas é zero (uma negativa e duas positivas) e ela vale 0, trata-se de um cone duplo com vértice na origem.
Passo 3
Traços com plano paralelo ao plano
(isto é,
):
Substituindo na equação obtemos
Substituindo
Para
isto é uma elipse de semi-eixos
em
e
em
. Para
a curva degenerada é apenas o ponto
.
Passo 4
Traços com plano paralelo ao plano
(isto é,
):
Substituindo na equação obtemos
Substituindo
Para
isto é uma hipérbole (eixo transverso em
). Para
temos a hipérbole degenerada
isto é, as retas
no plano
.
Passo 5
Traços com plano paralelo ao plano
(isto é,
):
Substituindo na equação obtemos
Substituindo
Para
também é uma hipérbole (eixo transverso em
). Para
dá a hipérbole degenerada
ou seja, as retas
no plano
.
Resposta
A superfície é um cone duplo (quádricas cônicas) de vértice na origem.
Se : elipses
(pontual se
).
Se : hipérboles
(retas
se
).
Se : hipérboles
(retas
se
).
Se
Se
Se