1. Determinar as equações das retas r paralelas à reta s : 3 x-4 y+1=0 exteriores à circunferência x^2+y^2=25. Resp: 3 x-4 y+k=0 com |k|>25.
  2. Determine a equação da reta que passa pelo centro da circunferência 2 x^2+2 y^2+ 4 x+1=0 e é perpendicular à reta de equação x+2 y-1=0. Resp: 2 x-y+2=0.

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
(a) encontrar as retas r paralelas à reta scolon 3x-4y+1=0 e exteriores à circunferência x^2+y^2=25.
(b) determinar a reta que passa pelo centro da circunferência 2x^2+2y^2+4x+1=0 e é perpendicular à reta x+2y-1=0.
Para (a) vamos usar a forma geral de retas paralelas e o critério de distância ponto-reta; para (b) precisamos achar o centro completando quadrados e usar o coeficiente angular da reta perpendicular.

Passo 2

Resolvendo (a): retas paralelas a s têm a forma
3x - 4y + k = 0
A distância do centro (0,0) à reta é
d = l|kr|raiz3^2+(-4)^2 = |k|5
Para que a reta seja exterior à circunferência de raio 5 precisamos de
|k|5 > 5 Longrightarrow |k| > 25

Passo 3

Resolvendo (b): escrevemos
2x^2+2y^2+4x+1=0
dividindo por 2 e completando quadrado em x:
x^2 + y^2 + 2x + tfrac12 = 0 Longrightarrow (x+1)^2 + y^2 = tfrac12
Logo o centro é C(-1,0). A reta x+2y-1=0 tem coeficiente angular m1=-tfrac12, então a perpendicular tem m2=2. Pela forma ponto-coeficiente:
y - 0 = 2l(x + 1r) Longrightarrow 2x - y + 2 = 0

Resposta

Para (a) as retas são
3x - 4y + k = 0, |k| > 25
Para (b) a reta é
2x - y + 2 = 0

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