Quais dos conjuntos abaixo são subespaços do espaço
, o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais?
O grau de um polinômio
é definido como o maior expoente da variável
que aparece no polinômio com coeficiente diferente de zero. Por exemplo, o grau do polinômio
é 4
.
O grau de um polinômio
Passo 1
Estamos no espaço vetorial
de todos os polinômios com coeficientes reais. Queremos testar se
é subespaço de
. Lembrando que um subconjunto
é subespaço se e somente se:
- O polinômio zero pertence a
. -
é fechado sob soma. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos o polinômio zero,
.
logo
portanto
.
Passo 3
Sejam
. Então
Vamos ver
:
Logo
, ou seja,
é fechado sob soma.
Passo 4
Seja
e
. Então
Verificamos
:
Logo
, ou seja,
é fechado sob multiplicação por escalar.