Quais dos conjuntos abaixo são subespaços do espaço P(R), o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais?
O grau de um polinômio f(t) in P(R) é definido como o maior expoente da variável t que aparece no polinômio com coeficiente diferente de zero. Por exemplo, o grau do polinômio f(t)=3 t^4-2 t^2+5 é 4
W=f(t) in P(R): f(0)=2 f(1).

Passo 1

Estamos no espaço vetorial P(R) de todos os polinômios com coeficientes reais. Queremos testar se
W = ,f(t)in P(R): f(0)=2,f(1)
é subespaço de P(R). Lembrando que um subconjunto Wsubset V é subespaço se e somente se:
  1. O polinômio zero pertence a W.
  2. W é fechado sob soma.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos o polinômio zero, f(t)=0.
f(0)=0, f(1)=0
logo
f(0)=0 =2cdot 0 =2,f(1),
portanto 0in W.

Passo 3

Sejam f,gin W. Então
f(0)=2,f(1) e g(0)=2,g(1)
Vamos ver f+g:
(f+g)(0)=f(0)+g(0)=2,f(1)+2,g(1) =2l(f(1)+g(1)r) =2,(f+g)(1)
Logo f+gin W, ou seja, W é fechado sob soma.

Passo 4

Seja alphainR e fin W. Então
f(0)=2,f(1)
Verificamos alpha f:
(alpha f)(0)=alpha,f(0)=alphacdot 2,f(1) =2,(alpha,f)(1)
Logo alpha fin W, ou seja, W é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

W é subespaço de P(R).

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