Seja o subespaço de gerado pelos polinômios e , em que:
Encontre uma base e a dimensão de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma base e a dimensão de um subespaço de (o espaço dos polinômios de grau no máximo 3). Somos dados quatro polinômios que geram :
Para encontrar uma base de e sua dimensão, vamos precisar entender sobre independência linear e combinações lineares de vetores (neste caso, polinômios). Vamos verificar quais desses polinômios são independentes e formam uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos representar cada polinômio como um vetor com os coeficientes dos termos . Assim, temos:
Agora, organizamos esses vetores em uma matriz, cada um formando uma coluna:
Para descobrir quais colunas são independentes, vamos colocar a matriz A em forma escalonada por linhas usando o método de eliminação de Gauss. Isso nos ajudará a identificar os pivôs e, consequentemente, as colunas que formam uma base.
Observamos que as últimas duas linhas ficaram de zeros, o que significa que os vetores correspondentes são combinações lineares dos anteriores. Portanto, os pivôs estão nas duas primeiras colunas.
Isso indica que apenas os primeiros dois vetores (colunas) são linearmente independentes e formam uma base para W .
Resposta
Uma base de W é formada pelos polinômios p(t) e q(t) , e a dimensão de W é 2.