Seja W o subespaço de P3 gerado pelos polinômios p, q, w e h, em que:
p(t)=1+4 t-2 t^2+t^3, q(t)=-1+9 t-3 t^2+2 t^3, w(t)=-5+6 t+t^3, h(t)=5+7 t-5 t^2+2 t^3
Encontre uma base e a dimensão de W.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma base e a dimensão de um subespaço W de P3 (o espaço dos polinômios de grau no máximo 3). Somos dados quatro polinômios que geram W :
p(t) = 1 + 4t - 2t^2 + t^3, q(t) = -1 + 9t - 3t^2 + 2t^3, w(t) = -5 + 6t + t^3, h(t) = 5 + 7t - 5t^2 + 2t^3
Para encontrar uma base de W e sua dimensão, vamos precisar entender sobre independência linear e combinações lineares de vetores (neste caso, polinômios). Vamos verificar quais desses polinômios são independentes e formam uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos representar cada polinômio como um vetor com os coeficientes dos termos t^0, t^1, t^2, t^3 . Assim, temos:
p = 1 4 -2 1 , q = -1 9 -3 2 , w = -5 6 0 1 , h = 5 7 -5 2
Agora, organizamos esses vetores em uma matriz, cada um formando uma coluna:
A = 1 & -1 & -5 & 5 4 & 9 & 6 & 7 -2 & -3 & 0 & -5 1 & 2 & 1 & 2

Passo 3

Para descobrir quais colunas são independentes, vamos colocar a matriz A em forma escalonada por linhas usando o método de eliminação de Gauss. Isso nos ajudará a identificar os pivôs e, consequentemente, as colunas que formam uma base.
Começamos com a matriz original:
1 & -1 & -5 & 5 4 & 9 & 6 & 7 -2 & -3 & 0 & -5 1 & 2 & 1 & 2
Primeiro, usamos o elemento a11 = 1 como pivô para eliminar os elementos abaixo dele na primeira coluna.

Passo 4

Eliminação na primeira coluna:
  • Linha 2: R2 = R2 - 4 times R1
4 - 4 times 1 = 0, 9 - 4 times (-1) = 13, 6 - 4 times (-5) = 26, 7 - 4 times 5 = -13
  • Linha 3: R3 = R3 + 2 times R1
-2 + 2 times 1 = 0, -3 + 2 times (-1) = -5, 0 + 2 times (-5) = -10, -5 + 2 times 5 = 5
  • Linha 4: R4 = R4 - 1 times R1
1 - 1 times 1 = 0, 2 - 1 times (-1) = 3, 1 - 1 times (-5) = 6, 2 - 1 times 5 = -3
A matriz fica assim:
1 & -1 & -5 & 5 0 & 13 & 26 & -13 0 & -5 & -10 & 5 0 & 3 & 6 & -3

Passo 5

Eliminação na segunda coluna:
Agora, usamos a22 = 13 como pivô para eliminar os elementos abaixo dele na segunda coluna.
  • Linha 3: R3 = R3 + 513 times R2
0 + 513 times 0 = 0, -5 + 513 times 13 = 0, -10 + 513 times 26 = 0, 5 + 513 times (-13) = 0
  • Linha 4: R4 = R4 - 313 times R2
0 - 313 times 0 = 0, 3 - 313 times 13 = 0, 6 - 313 times 26 = 0, -3 - 313 times (-13) = 0
A matriz agora é:
1 & -1 & -5 & 5 0 & 13 & 26 & -13 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0

Passo 6

Observamos que as últimas duas linhas ficaram de zeros, o que significa que os vetores correspondentes são combinações lineares dos anteriores. Portanto, os pivôs estão nas duas primeiras colunas.
Isso indica que apenas os primeiros dois vetores (colunas) são linearmente independentes e formam uma base para W .

Resposta

Uma base de W é formada pelos polinômios p(t) e q(t) , e a dimensão de W é 2.

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