Qual o valor de m para que os vetores u=m imath+5 jmath-4 k e b=(m+1) imath+2 jmath+4 k sejam ortogonais?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o valor de m que faz com que os vetores u = m imath + 5 jmath - 4 k e b = (m + 1) imath + 2 jmath + 4 k sejam ortogonais. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente envolvendo vetores e condições de ortogonalidade. Para resolver, vamos precisar usar o produto escalar entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Ou seja, u cdot b = 0 .

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar u cdot b . O produto escalar de dois vetores u = u1 imath + u2 jmath + u3 k e b = b1 imath + b2 jmath + b3 k é dado por:
u cdot b = u1 b1 + u2 b2 + u3 b3

Passo 4

Aplicando isso aos nossos vetores:
u cdot b = m cdot (m + 1) + 5 cdot 2 + (-4) cdot 4
Vamos simplificar cada termo:
m(m + 1) = m^2 + m
5 cdot 2 = 10
-4 cdot 4 = -16
Então:
u cdot b = m^2 + m + 10 - 16 = m^2 + m - 6

Passo 5

Como queremos que os vetores sejam ortogonais, igualamos o produto escalar a zero:
m^2 + m - 6 = 0
Agora, temos uma equação quadrática para resolver.

Passo 6

Vamos resolver a equação quadrática m^2 + m - 6 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
m = -b pm raizb^2 - 4ac 2a
Onde a = 1 , b = 1 , e c = -6 .

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula:
m = -1 pm raiz1^2 - 4 cdot 1 cdot (-6) 2 cdot 1 = -1 pm raiz1 + 24 2 = -1 pm raiz25 2
raiz25 = 5
Então:
m = -1 pm 5 2

Passo 8

Isso nos dá duas soluções:
m = -1 + 5 2 = 42 = 2
m = -1 - 5 2 = -62 = -3

Resposta

Os valores de m que tornam os vetores ortogonais são m = 2 e m = -3 .

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