Qual o valor de para que os vetores u=m imath+5 jmath-4 k e b=(m+1) imath+2 jmath+4 k sejam ortogonais?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o valor de m que faz com que os vetores u = m imath + 5 jmath - 4 k e b = (m + 1) imath + 2 jmath + 4 k sejam ortogonais. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente envolvendo vetores e condições de ortogonalidade. Para resolver, vamos precisar usar o produto escalar entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Ou seja, u cdot b = 0 .
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar u cdot b . O produto escalar de dois vetores u = u1 imath + u2 jmath + u3 k e b = b1 imath + b2 jmath + b3 k é dado por:
u cdot b = u1 b1 + u2 b2 + u3 b3
Passo 4
Aplicando isso aos nossos vetores:
u cdot b = m cdot (m + 1) + 5 cdot 2 + (-4) cdot 4
Vamos simplificar cada termo:
m(m + 1) = m^2 + m
5 cdot 2 = 10
-4 cdot 4 = -16
Então:
u cdot b = m^2 + m + 10 - 16 = m^2 + m - 6
Passo 5
Como queremos que os vetores sejam ortogonais, igualamos o produto escalar a zero:
m^2 + m - 6 = 0
Agora, temos uma equação quadrática para resolver.
Passo 6
Vamos resolver a equação quadrática m^2 + m - 6 = 0 usando a fórmula de Bhaskara: