Encontre a decomposição em autovalores e autovetores das matrizes abaixo:
Passo 1
Beleza! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores das matrizes A, B, C, D e E. Isso envolve usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e equações características. Vamos precisar calcular os autovalores resolvendo o determinante de (A - λI) = 0 e, depois, encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Passo 2
Vamos começar com a matriz A:
Essa é uma matriz de rotação. Para encontrar os autovalores, precisamos resolver det(A - λI) = 0.
Passo 3
Calculando (A - λI):
Passo 4
O determinante de (A - λI) é:
Passo 5
Simplificando a equação:
lambda^2 - 2cos(theta)lambda + 1 = 0
Essa é a equação característica. Resolvendo usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 6
Portanto, os autovalores são:
lambda1 = e^itheta e lambda2 = e^-itheta
Passo 7
Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor. Começando com lambda1 = e^itheta.