Encontre a decomposição em autovalores e autovetores das matrizes abaixo:
rlr A=[ccc cos (theta) & sen(theta) -sen(theta) & cos (theta) ] & B=[ccc 1 & -1 & 1 0 & 1 & 2 1 & 2 & 4 ] & C=[ccc 1 & 3 & 2 -1 & 0 & 1 3 & 1 & -2 ] D=[cccc 9 & -1 & 5 & 7 8 & 3 & 2 & -4 0 & 0 & 3 & 6 0 & 0 & -1 & 8 ] & E=[ll 2 & 1 1 & 1 ] &

Passo 1

Beleza! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores das matrizes A, B, C, D e E. Isso envolve usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e equações características. Vamos precisar calcular os autovalores resolvendo o determinante de (A - λI) = 0 e, depois, encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.

Passo 2

Vamos começar com a matriz A:
Essa é uma matriz de rotação. Para encontrar os autovalores, precisamos resolver det(A - λI) = 0.

Passo 3

Calculando (A - λI):

Passo 4

O determinante de (A - λI) é:

Passo 5

Simplificando a equação:
lambda^2 - 2cos(theta)lambda + 1 = 0
Essa é a equação característica. Resolvendo usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 6

Portanto, os autovalores são:
lambda1 = e^itheta e lambda2 = e^-itheta

Passo 7

Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor. Começando com lambda1 = e^itheta.

Resolvendo (A - λ1 I)v = 0:
$$

cos(theta) - e^itheta & sen(theta) -sen(theta) & cos(theta) - e^itheta v1 v2 = 0 0

(cos(theta) - e^itheta)v1 + sen(theta)v2 = 0
lambda1
(\cos(\theta) - e^{i\theta})v_1 + \sen(\theta)v_2 = 0
v1 = 1 -i
v_1 =
$$

Passo 8

De forma semelhante, para lambda2 = e^-itheta, o autovetor correspondente é:
v2 = 1 i

Resposta

A decomposição em autovalores e autovetores da matriz A é dada por:
Autovalores:
lambda1 = e^itheta, lambda2 = e^-itheta
Autovetores:
v1 = 1 -i , v2 = 1 i

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