Se os conjuntos A e B não possuem elementos em comum, dizemos que A e B são disjuntos. Mostre que, se dois em três conjuntos A, B e C são disjuntos, então A cap B cap C=emptyset.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se entre três conjuntos A, B e C dois são disjuntos (isto é, não têm elementos em comum), então a interseção Acap Bcap C é vazia. O conteúdo aqui é teoria de conjuntos, precisaremos usar a definição de conjunto disjunto e a propriedade de interseção.

Passo 2

Vamos supor, sem perda de generalidade, que A e B sejam disjuntos. Pela definição, A e B não têm elementos em comum, ou seja,
A cap B = emptyset

Passo 3

Agora, considere um elemento arbitrário xin Acap Bcap C. Por definição de interseção, isso significa que xin A, xin B e xin C
Mas como xin A e xin B simultaneamente, teríamos xin Acap B, o que contradiz Acap B=emptyset.
Logo, não existe elemento x que pertença a Acap Bcap C. Portanto,
Acap Bcap C=emptyset

Resposta

A\cap B\cap C = \emptyset

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