Se os conjuntos
e
não possuem elementos em comum, dizemos que
e
são disjuntos. Mostre que, se dois em três conjuntos
e
são disjuntos, então
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se entre três conjuntos
e
dois são disjuntos (isto é, não têm elementos em comum), então a interseção
é vazia. O conteúdo aqui é teoria de conjuntos, precisaremos usar a definição de conjunto disjunto e a propriedade de interseção.
Passo 2
Vamos supor, sem perda de generalidade, que
e
sejam disjuntos. Pela definição,
e
não têm elementos em comum, ou seja,
Passo 3
Agora, considere um elemento arbitrário
. Por definição de interseção, isso significa que
e
Mas como e
simultaneamente, teríamos
, o que contradiz
.
Logo, não existe elemento que pertença a
. Portanto,
Mas como
Logo, não existe elemento
Resposta
A\cap B\cap C = \emptyset