Nos itens a seguir, prove o que se pede e diga qual técnica de demonstração foi utilizada.
Prove que se d=raiz2, então d é um número irracional.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se d=raiz2, então d é irracional, ou seja, não pode ser escrito como fração de dois inteiros coprimos. Vamos usar conceitos de definição de número irracional e estrutura de prova por contradição.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que raiz2 seja racional. Então existem inteiros a e b, com bneq 0 e gcd(a,b)=1, tais que raiz2=ab. Esse passo define a hipótese contrária ao que queremos provar.

Passo 3

Elevando ao quadrado ambos os lados da igualdade, obtemos
2 = (ab)^2 = a^2b^2
Multiplicando por b^2, segue que
a^2 = 2,b^2
Isso mostra que a^2 é par, pois é o dobro de outro inteiro.

Passo 4

Se a^2 é par, então a também é par. Logo podemos escrever a=2k para algum inteiro k. Substituindo em a^2=2b^2 temos
(2k)^2 = 2 b^2
ou seja
4k^2 = 2b^2 implies 2k^2 = b^2
Isso implica que b^2 é par, logo b é par.

Passo 5

Concluímos que tanto a quanto b são pares, o que contradiz a hipótese de que a e b são coprimos (não têm fator 2 em comum). Essa contradição vem da suposição inicial de que raiz2 fosse racional.

Passo 6

Portanto, a suposição de que raiz2 é racional leva a um absurdo. Concluímos que raiz2 é irracional. A técnica de demonstração utilizada foi a prova por contradição (ou prova por absurdo).

Resposta

raiz2 é irracional. Técnica de demonstração: prova por contradição.

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