Nos itens a seguir, prove o que se pede e diga qual técnica de demonstração foi utilizada.
Prove que se
, então
é um número irracional.
Prove que se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
, então
é irracional, ou seja, não pode ser escrito como fração de dois inteiros coprimos. Vamos usar conceitos de definição de número irracional e estrutura de prova por contradição.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
seja racional. Então existem inteiros
e
, com
e
, tais que
. Esse passo define a hipótese contrária ao que queremos provar.
Passo 3
Elevando ao quadrado ambos os lados da igualdade, obtemos
Multiplicando por
, segue que
Isso mostra que
é par, pois é o dobro de outro inteiro.
Passo 4
Se
é par, então
também é par. Logo podemos escrever
para algum inteiro
. Substituindo em
temos
ou seja
Isso implica que
é par, logo
é par.
Passo 5
Concluímos que tanto
quanto
são pares, o que contradiz a hipótese de que
e
são coprimos (não têm fator 2 em comum). Essa contradição vem da suposição inicial de que
fosse racional.
Passo 6
Portanto, a suposição de que
é racional leva a um absurdo. Concluímos que
é irracional. A técnica de demonstração utilizada foi a prova por contradição (ou prova por absurdo).