1.93 Demonstre a relação: (u times v) times(z times w)=[u, v, w] z-[u, v, z] w.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade envolvendo dois produtos vetoriais e produtos mistos. O conteúdo principal é usar a fórmula do produto vetorial triplo, que diz como expandir
vec a times (vec b times vec c).

Passo 2

Recordamos a identidade do produto vetorial triplo (também chamada de regra “bac–cab”):
vec a times (vec b times vec c) = vec b,(vec a!cdot!vec c);-;vec c,(vec a!cdot!vec b)
Aqui vec acdotvec c e vec acdotvec b são produtos escalares.

Passo 3

Aplicamos essa identidade escolhendo
vec a = vec u times vec v, vec b = vec z e vec c = vec w. Então
(vec u times vec v)times(vec z times vec w) = vec z,l((vec u times vec v)!cdot!vec wr) -vec w,l((vec u times vec v)!cdot!vec zr)

Passo 4

Reconhecemos que o produto misto [vec u,vec v,vec w] é definido por
[vec u,vec v,vec w] =vec u!cdot!(vec vtimes vec w) =(vec utimes vec v)!cdot!vec w
Analogamente
[vec u,vec v,vec z]=(vec utimesvec v)!cdot!vec z.

Passo 5

Substituindo esses produtos mistos na expressão do Passo 3, obtemos
(vec u times vec v)times(vec z times vec w) = vec z,[vec u,vec v,vec w];-;vec w,[vec u,vec v,vec z],
que é exatamente a relação desejada.

Resposta

(vec u times vec v)times(vec z times vec w) =[vec u,vec v,vec w],vec z ;-; [vec u,vec v,vec z],vec w

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