Para
e
conjuntos genéricos, mostre que:
Encontre os conjuntos resultantes em cada caso:
, onde
e
.
, onde
e
.
, onde
e
.
Passo 1
Beleza, o exercício tem duas partes:
- Provar que, para conjuntos genéricos
,
- Calcular três casos concretos de operações com conjuntos:
a)com e .
b)com e .
c)com
Matéria envolvida: operações de conjuntos (diferença, união, interseção) e prova por “elemento genérico”. Vamos precisar das definições:
-
significa e . -
significa ou . -
significa e .
Passo 2
Prova de
-
Pegamos um elemento genérico
. -
Suponha
. - Isso quer dizer:
a),
b). - E
significa que não vale “ ou ”. Logo
e . - Então juntando tudo:
, e . - Mas “
e ” é exatamente .
E “e ” é . - Logo
e , ou seja
.
- Isso quer dizer:
-
Agora a recíproca: suponha
. - Isso significa simultaneamente
e . - Então
, , . - Isso implica
e não ou , ou seja
e . - Portanto
.
- Isso significa simultaneamente
Como mostramos as duas inclusões
e vice-versa, concluímos a igualdade dos conjuntos.
Passo 3
Calcular
para
- Se
, então , em especial . - Mas
é todo com . Logo qualquer já está em . - Assim não sobra nada em
que não esteja em .
Resultado:
Passo 4
Calcular
para
-
são números pares (0,2,4,6,… ou 2,4,6,… dependendo de ). -
são números ímpares (1,3,5,7,…). - Não há número que seja ao mesmo tempo par e ímpar.
Resultado:
Passo 5
Calcular
para
-
tira de o que está em . O único elemento comum é .
-
elementos que estão em ambos e . Só o .
- União:
Resposta
- Prova da identidade:
- Resultados dos casos: