Para A, B e C conjuntos genéricos, mostre que:
C-(A cup B)=(C-A) cap(C-B)
Encontre os conjuntos resultantes em cada caso: A-B, onde A=x in R ; 2 e B=x in R ; x >= 2. A cap B, onde A=2 n ; n in N e B=2 n+1 ; n in N. (A-B) cup(A cap C), onde A=1,2,4,5,7, B=3,7,8 e C=5,6,9,10.

Passo 1

Beleza, o exercício tem duas partes:
  1. Provar que, para conjuntos genéricos C - (A cup B) ;=;(C - A),cap,(C - B) ,
  1. Calcular três casos concretos de operações com conjuntos:
    a) com e .
    b) com e .
    c) com
Matéria envolvida: operações de conjuntos (diferença, união, interseção) e prova por “elemento genérico”. Vamos precisar das definições:
  • significa e .
  • significa ou .
  • significa e .

Passo 2

Prova de
  1. Pegamos um elemento genérico .
  2. Suponha .
    • Isso quer dizer:
      a) ,
      b) .
    • E significa que não vale “ ou ”. Logo
      e .
    • Então juntando tudo: , e .
    • Mas “ e ” é exatamente .
      E “ e ” é .
    • Logo e , ou seja
      .
  3. Agora a recíproca: suponha .
    • Isso significa simultaneamente e .
    • Então , , .
    • Isso implica e não ou , ou seja
      e .
    • Portanto .
Como mostramos as duas inclusões e vice-versa, concluímos a igualdade dos conjuntos.

Passo 3

Calcular A=xin R;2=2 para
A-B = varnothing
  • Se , então , em especial .
  • Mas é todo com . Logo qualquer já está em .
  • Assim não sobra nada em que não esteja em .
    Resultado:

Passo 4

Calcular A=2n; nin N, B=2n+1; nin N para
Acap B = varnothing
  • são números pares (0,2,4,6,… ou 2,4,6,… dependendo de ).
  • são números ímpares (1,3,5,7,…).
  • Não há número que seja ao mesmo tempo par e ímpar.
    Resultado:

Passo 5

Calcular A=1,2,4,5,7,;B=3,7,8,;C=5,6,9,10 para
  1. tira de o que está em . O único elemento comum é .
  2. elementos que estão em ambos e . Só o .
  3. União:

Resposta

  1. Prova da identidade:
C-(Acup B) = (C-A)cap(C-B)
  1. Resultados dos casos:
&A - B = varnothing, &Acap B = varnothing, &(A-B)cup(Acap C) = 1,2,4,5

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