Mostre que dados dois conjuntos A e B quaisquer, (A-B) e B são disjuntos.

Passo 1

Beleza, aqui o que a questão pede é: “Dado quaisquer conjuntos e , mostre que e são disjuntos.”
Conteúdo: operações com conjuntos – diferença de conjuntos ( ) e interseção ( ).
O que vamos precisar:
  1. Definição de “conjunto disjuntos” (interseção vazia).
  2. Definição de diferença de conjuntos ( ).
  3. Mostrar que não existe elemento em comum.

Passo 2

Primeiro, “disjuntos” significa que a interseção dos dois conjuntos é o conjunto vazio. Em símbolos:
X e Y disjuntos Long<=ftrightarrow X cap Y = emptyset
Então nosso alvo é provar que
(A - B) cap B = emptyset

Passo 3

Vamos usar uma prova direta (ou por contradição leve):
  1. Tome um elemento qualquer x in A e x notin B que pertença a .
  2. Se , pela definição de diferença de conjuntos temos:
  3. Mas também assumimos , porque está em .
  4. Aí vemos o conflito: de um lado , do outro . Isso é impossível!

Passo 4

Como chegamos a uma contradição ao supor que existe (A - B) cap B = emptyset, em , a única conclusão lógica é que não existe tal . Logo
que exatamente diz que e são disjuntos.

Resposta

, portanto e são disjuntos.

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