Mostre que dados dois conjuntos
e
quaisquer,
e
são disjuntos.
Passo 1
Beleza, aqui o que a questão pede é: “Dado quaisquer conjuntos
e
, mostre que
e
são disjuntos.”
Conteúdo: operações com conjuntos – diferença de conjuntos ( ) e interseção (
).
O que vamos precisar:
Conteúdo: operações com conjuntos – diferença de conjuntos (
O que vamos precisar:
- Definição de “conjunto disjuntos” (interseção vazia).
- Definição de diferença de conjuntos (
). - Mostrar que não existe elemento em comum.
Passo 2
Primeiro, “disjuntos” significa que a interseção dos dois conjuntos é o conjunto vazio. Em símbolos:
Então nosso alvo é provar que
Passo 3
Vamos usar uma prova direta (ou por contradição leve):
- Tome um elemento qualquer
que pertença a . - Se
, pela definição de diferença de conjuntos temos: - Mas também assumimos
, porque está em . - Aí vemos o conflito: de um lado
, do outro . Isso é impossível!
Passo 4
Como chegamos a uma contradição ao supor que existe
em
, a única conclusão lógica é que não existe tal
. Logo
que exatamente diz que
e
são disjuntos.