Conjuntos e Relações
Defina uma relação R no conjunto A=1,2,3,4 tal que R seja reflexiva e simétrica, mas não transitiva. Liste os pares ordenados de R e justifique por que ela satisfaz essas propriedades.

Passo 1

O enunciado pede para definir uma relação R sobre A = 1,2,3,4 que seja reflexiva, simétrica e porém não transitiva. Para resolver isso, vamos usar as definições formais de cada propriedade e construir R passo a passo.

Passo 2

Uma relação é reflexiva se e somente se todo elemento de A estiver relacionado consigo mesmo. Logo, devemos incluir em R todos os pares da forma (x,x) com xin A, isto é,
(1,1),;(2,2),;(3,3),;(4,4)

Passo 3

Para garantir simetria, sempre que incluirmos um par (a,b) com aneq b, precisamos também incluir seu inverso (b,a). Vamos escolher dois pares fora da diagonal, por exemplo (1,2) e (2,3), e então adicionar também seus simétricos (2,1) e (3,2). Assim a relação fica fechada sob troca de coordenadas.

Passo 4

Para que R não seja transitiva, basta encontrar um contraexemplo: notamos que (1,2)inR e (2,3)inR, mas deliberadamente deixamos de incluir (1,3) e (3,1). Dessa forma, a condição de transitividade falha, pois não há passagem direta de 1 para 3.

Resposta

R = (1,1),,(2,2),,(3,3),,(4,4),,(1,2),,(2,1),,(2,3),,(3,2)

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