Conjuntos e Relações
Defina uma relação
no conjunto
tal que
seja reflexiva e simétrica, mas não transitiva. Liste os pares ordenados de
e justifique por que ela satisfaz essas propriedades.
Passo 1
O enunciado pede para definir uma relação
sobre
que seja reflexiva, simétrica e porém não transitiva. Para resolver isso, vamos usar as definições formais de cada propriedade e construir
passo a passo.
Passo 2
Uma relação é reflexiva se e somente se todo elemento de
estiver relacionado consigo mesmo. Logo, devemos incluir em
todos os pares da forma
com
, isto é,
Passo 3
Para garantir simetria, sempre que incluirmos um par
com
, precisamos também incluir seu inverso
. Vamos escolher dois pares fora da diagonal, por exemplo
e
, e então adicionar também seus simétricos
e
. Assim a relação fica fechada sob troca de coordenadas.
Passo 4
Para que
não seja transitiva, basta encontrar um contraexemplo: notamos que
e
, mas deliberadamente deixamos de incluir
e
. Dessa forma, a condição de transitividade falha, pois não há passagem direta de
para
.