Dados os conjuntos U=a, b, c, d, e, f, A=a, b, c e B=b, c, d, verifique as Leis de De Morgan:
(A cup B)^comp<=ment=A^comp<=ment cap B^comp<=ment
Calcule ambos os lados de cada igualdade para confirmar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é verificar uma das Leis de De Morgan usando os conjuntos dados. A gente tem o conjunto universal U = a, b, c, d, e, f, o conjunto A = a, b, c e o conjunto B = b, c, d. A lei que vamos verificar é:
(A cup B)^comp<=ment = A^comp<=ment cap B^comp<=ment
Pra resolver isso, vamos precisar lembrar o que significa cada operação:
  • União ( cup): junta todos os elementos que estão em A ou em B.
  • Complemento ( ^comp<=ment): pega todos os elementos que NÃO estão no conjunto.
  • Interseção ( cap): pega apenas os elementos que estão em ambos os conjuntos.
Vamos calcular cada lado da igualdade pra ver se elas realmente são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular A cup B. Isso significa juntar todos os elementos que estão em A ou em B.
A cup B = a, b, c cup b, c, d = a, b, c, d
Então, a união de A e B é a, b, c, d.

Passo 3

Agora, vamos calcular o complemento dessa união, ou seja, (A cup B)^comp<=ment. Isso significa pegar todos os elementos que NÃO estão em a, b, c, d dentro do conjunto universal U.
(A cup B)^comp<=ment = U - (A cup B) = a, b, c, d, e, f - a, b, c, d = e, f
Então, (A cup B)^comp<=ment = e, f.

Passo 4

Vamos agora calcular os complementos de A e B separadamente.
Primeiro, A^comp<=ment:
A^comp<=ment = U - A = a, b, c, d, e, f - a, b, c = d, e, f
Depois, B^comp<=ment:
B^comp<=ment = U - B = a, b, c, d, e, f - b, c, d = a, e, f
Então, A^comp<=ment = d, e, f e B^comp<=ment = a, e, f.

Passo 5

Agora, vamos calcular a interseção dos complementos de A e B, ou seja, A^comp<=ment cap B^comp<=ment.
A^comp<=ment cap B^comp<=ment = d, e, f cap a, e, f = e, f
Então, A^comp<=ment cap B^comp<=ment = e, f.

Resposta

Conferindo os dois lados, vimos que:
(A cup B)^comp<=ment = e, f
e
A^comp<=ment cap B^comp<=ment = e, f
Portanto, a Lei de De Morgan está confirmada para esses conjuntos!

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