Para os conjuntos seguintes, determine se são espaços vetoriais reais, se a adição e multiplicação são as usuais.
O conjunto das matrizes 3 times 3 triangulares estrictamente superiores, i.e., o conjunto das matrizes da forma:
(lll 0 & a & b 0 & 0 & c 0 & 0 & 0 )

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
U = 0 & a & b 0 & 0 & c 0 & 0 & 0 ;midd<=|;a,b,cinR
com as operações usuais de soma de matrizes e multiplicação escalar é um espaço vetorial sobre R. O conteúdo é reconhecer que U é um subespaço de M3(R).

Passo 2

Verificamos a fechamento sob adição. Tomemos
X = 0 & a & b 0 & 0 & c 0 & 0 & 0 , Y = 0 & a' & b' 0 & 0 & c' 0 & 0 & 0
Então
X + Y = 0 & a + a' & b + b' 0 & 0 & c + c' 0 & 0 & 0 ,
que também tem zeros na diagonal e abaixo dela, logo X+Yin U.

Passo 3

Verificamos a fechamento sob multiplicação escalar. Para lambdainR e
X = 0 & a & b 0 & 0 & c 0 & 0 & 0 ,
temos
lambda X = 0 & lambda a & lambda b 0 & 0 & lambda c 0 & 0 & 0 in U

Passo 4

Verificamos que o vetor zero de M3(R) está em U:
03 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 in U
Como Uneqemptyset, fechado em soma e escalar, concluímos que U é subespaço de M3(R) e, portanto, é um espaço vetorial sobre R.

Resposta

Sim. O conjunto das matrizes estritamente triangulares superiores 3times3 com as operações usuais é um espaço vetorial real (subespaço de M3(R)), de dimensão 3.

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