Seja V o conjunto de todos os pares ordenados (x1, x2) de números reais. Determine se V é um espaço vetorial se a soma ("+") e o produto escalar são definidos das formas abaixo. (Desconsidere a soma e multiplicação por escalar usuais.)
(x1, x2)+(y1, y2)=(|x1+y1|,|x2+y2|), a(x1, x2)= (a x1, a x2)

Passo 1

O enunciado define em V= R^2 a “soma”
(x1,x2)+(y1,y2)=l(|x1+y1|,;|x2+y2|r)
e o produto por escalar usual
a,(x1,x2) = (a x1,;a x2)
Para que V seja espaço vetorial precisamos, entre outros, de um elemento neutro aditivo 0Vin V tal que
(x1,x2)+0V = (x1,x2)forall,(x1,x2)in V

Passo 2

Suponha que exista 0V=(e1,e2). Então para todo (x1,x2)in V deve valer
l|x1 + e1r| = x1 e l|x2 + e2r| = x2
Em particular, tome x1<0. Da igualdade lvert x1+e1rvert=x1 teríamos um número não-negativo igual a um número negativo, o que é impossível.

Passo 3

Concluímos que não existe par (e1,e2) que satisfaça lvert xi+eirvert=xi para todo real xi. Logo falha o axioma da existência do elemento neutro aditivo.

Resposta

V não é um espaço vetorial, pois não possui elemento neutro para a soma definida.

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