Seja o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Determine se é um espaço vetorial se a soma ("+") e o produto escalar são definidos das formas abaixo. (Desconsidere a soma e multiplicação por escalar usuais.)
Passo 1
O enunciado define em a “soma”
e o produto por escalar usual
Para que seja espaço vetorial precisamos, entre outros, de um elemento neutro aditivo tal que
Passo 2
Suponha que exista . Então para todo deve valer
Em particular, tome x1<0. Da igualdade lvert x1+e1rvert=x1 teríamos um número não-negativo igual a um número negativo, o que é impossível.
Passo 3
Concluímos que não existe par (e1,e2) que satisfaça lvert xi+eirvert=xi para todo real xi. Logo falha o axioma da existência do elemento neutro aditivo.
Resposta
V não é um espaço vetorial, pois não possui elemento neutro para a soma definida.