Quais dos conjuntos a seguir são conjuntos de cobertura para \mathbb{R}^{3} ? \left\{\left(\begin{array}{c}2 \\\\ 1 \\\\ -2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3 \\\\ 2 \\\\ -2\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\\\ 2 \\\\ 0\end{array}\right)\right\}
Passo 1
O enunciado dá um único conjunto de três vetores em \mathbb{R}^3 e pergunta se ele é um conjunto de cobertura (ou seja, se gera \mathbb{R}^3). Os vetores fornecidos são:
A pergunta que precisamos responder é: este conjunto \{v_1,v_2,v_3\} é um conjunto de cobertura para \mathbb{R}^3?]
Passo 2
Definição e critério prático que vamos usar (explicado passo a passo):
Um conjunto de vetores gera (ou cobre) \mathbb{R}^3 se qualquer vetor de \mathbb{R}^3 puder ser escrito como combinação linear desses vetores.
Para três vetores em \mathbb{R}^3, isso é equivalente a os três serem linearmente independentes. Se são linearmente independentes, sua matriz com colunas iguais a esses vetores tem posto 3 e determinante diferente de zero; se o determinante for zero, são linearmente dependentes e não geram todo \mathbb{R}^3.
Vou portanto montar a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3 e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, o conjunto gera \mathbb{R}^3; se for zero, não gera.
Como [\det(A)=0), os vetores são linearmente dependentes. Vou mostrar explicitamente uma relação de dependência (isso ajuda a entender concretamente por que não geram \mathbb{R}^3).
Procuramos escalares a,b,c, não todos zero, tais que
a v_1 + b v_2 + c v_3 = \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Escolhendo b=2 (qualquer múltiplo funcionaria) obtemos a=-2 e c=-1. Assim
-2v_1+2v_2-1v_3=0,
ou rearranjando,
v_3=2v_2-2v_1.
Isso mostra que v_3 é combinação linear de v_1 e v_2; portanto todos os três vetores ficam no mesmo plano gerado por v_1 e v_2, e o conjunto gera apenas um subespaço de dimensão 2, não todo \mathbb{R}^3.]
Passo 5
Interpretação final e conclusão: o determinante zero e a relação v_3=2v_2-2v_1 provam que os vetores são linearmente dependentes e que o conjunto não é um conjunto de cobertura para \mathbb{R}^3. Em linguagem prática: não é possível representar todo vetor arbitrário de \mathbb{R}^3 como combinação linear desses três vetores; eles geram apenas um plano (subespaço de dimensão 2).
Resposta
Não — o conjunto \left\{\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\\ 2\\\ -2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix}\right\} não é um conjunto de cobertura para \mathbb{R}^{3}.