Quais dos conjuntos a seguir são conjuntos de cobertura para \mathbb{R}^{3} ?
\left\{\left(\begin{array}{c}2 \\\\ 1 \\\\ -2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3 \\\\ 2 \\\\ -2\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\\\ 2 \\\\ 0\end{array}\right)\right\}

Passo 1

O enunciado dá um único conjunto de três vetores em \mathbb{R}^3 e pergunta se ele é um conjunto de cobertura (ou seja, se gera \mathbb{R}^3). Os vetores fornecidos são:
v_1=\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]-2\end{pmatrix},\qquad v_2=\begin{pmatrix}3\\[2pt]2\\[2pt]-2\end{pmatrix},\qquad v_3=\begin{pmatrix}2\\[2pt]2\\[2pt]0\end{pmatrix}.
A pergunta que precisamos responder é: este conjunto \{v_1,v_2,v_3\} é um conjunto de cobertura para \mathbb{R}^3?]

Passo 2

Definição e critério prático que vamos usar (explicado passo a passo):
  • Um conjunto de vetores gera (ou cobre) \mathbb{R}^3 se qualquer vetor de \mathbb{R}^3 puder ser escrito como combinação linear desses vetores.
  • Para três vetores em \mathbb{R}^3, isso é equivalente a os três serem linearmente independentes. Se são linearmente independentes, sua matriz com colunas iguais a esses vetores tem posto 3 e determinante diferente de zero; se o determinante for zero, são linearmente dependentes e não geram todo \mathbb{R}^3.
    Vou portanto montar a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3 e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, o conjunto gera \mathbb{R}^3; se for zero, não gera.

Passo 3

Formo a matriz A com os vetores como colunas:
A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2\\[4pt] 1 & 2 & 2\\[4pt] -2 & -2 & 0 \end{pmatrix}.
Calculo o determinante de A usando expansão por Laplace na primeira linha (ou a regra de Sarrus, equivalente aqui). Escrevo o desenvolvimento:
\det(A)= 2\cdot\begin{vmatrix}2 & 2\\[2pt]-2 & 0\end{vmatrix} -3\cdot\begin{vmatrix}1 & 2\\[2pt]-2 & 0\end{vmatrix} +2\cdot\begin{vmatrix}1 & 2\\[2pt]-2 & -2\end{vmatrix}.
Agora calculo cada menor 2\times2:
\begin{vmatrix}2 & 2\\[2pt]-2 & 0\end{vmatrix}=2\cdot0-2\cdot(-2)=4,
\begin{vmatrix}1 & 2\\[2pt]-2 & 0\end{vmatrix}=1\cdot0-2\cdot(-2)=4,
\begin{vmatrix}1 & 2\\[2pt]-2 & -2\end{vmatrix}=1\cdot(-2)-2\cdot(-2)=-2+4=2.
Substituindo na expressão do determinante:
\det(A)=2\cdot4-3\cdot4+2\cdot2=8-12+4=0.]

Passo 4

Como [\det(A)=0), os vetores são linearmente dependentes. Vou mostrar explicitamente uma relação de dependência (isso ajuda a entender concretamente por que não geram \mathbb{R}^3).
Procuramos escalares a,b,c, não todos zero, tais que
a v_1 + b v_2 + c v_3 = \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Escrevendo coordenada a coordenada:
\begin{cases} 2a+3b+2c=0,\\[2pt] a+2b+2c=0,\\[2pt] -2a-2b+0c=0. \end{cases}
Da terceira equação vem -2a-2b=0\], ou seja \(a=-b. Substituindo na segunda:
(-b)+2b+2c=0 \quad\Rightarrow\quad b+2c=0 \quad\Rightarrow\quad c=-\dfrac{b}{2}.
Escolhendo b=2 (qualquer múltiplo funcionaria) obtemos a=-2 e c=-1. Assim
-2v_1+2v_2-1v_3=0,
ou rearranjando,
v_3=2v_2-2v_1.
Isso mostra que v_3 é combinação linear de v_1 e v_2; portanto todos os três vetores ficam no mesmo plano gerado por v_1 e v_2, e o conjunto gera apenas um subespaço de dimensão 2, não todo \mathbb{R}^3.]

Passo 5

Interpretação final e conclusão: o determinante zero e a relação v_3=2v_2-2v_1 provam que os vetores são linearmente dependentes e que o conjunto não é um conjunto de cobertura para \mathbb{R}^3. Em linguagem prática: não é possível representar todo vetor arbitrário de \mathbb{R}^3 como combinação linear desses três vetores; eles geram apenas um plano (subespaço de dimensão 2).

Resposta

Não — o conjunto \left\{\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\\ 2\\\ -2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix}\right\} não é um conjunto de cobertura para \mathbb{R}^{3}.

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