Quais dos conjuntos a seguir são conjuntos geradores para P3 ? Justifique suas respostas.
2, x^2, 2 x+3

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto
S = ,2,;x^2,;2x+3
é gerador de P3, o espaço de todos os polinômios de grau <=3. Para responder, precisamos comparar a dimensão de P3 com o número de vetores em S e, se necessário, mostrar que algum polinômio de P3 não pode ser escrito como combinação linear de elementos de S.

Passo 2

O espaço P3 tem base usual 1,x,x^2,x^3 e, portanto,
dim(P3) = 4

Passo 3

O conjunto S possui apenas 3 vetores. Num espaço de dimensão 4, qualquer gerador deve ter no mínimo 4 vetores. Como lvert Srvert = 3 < 4 = dim(P3), concluímos já por esse critério que S não pode gerar P3.

Passo 4

Para reforçar, note que uma combinação linear genérica de elementos de S é
acdot 2 ;+; bcdot x^2;+;ccdot(2x+3) = (2a+3c);+;(2c),x;+;b,x^2
Não há escolha de a,b,c que produza um termo em x^3. Logo, x^3notin span(S), confirmando que S não gera P3.

Resposta

O conjunto 2,;x^2,;2x+3 não é gerador de P3.

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