Determine a equação da hipérbole, dados:
latus rectum igual a 18 e distância entre seus focos igual a 12;

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma hipérbole centralizada na origem, com semi-eixo transverso a, semi-eixo conjugado b, distância focal 2c=12 (logo c=6) e latus rectum de comprimento L=18. Vamos usar as fórmulas padrão:
L=2b^2a,
c^2 = a^2 + b^2,
e assumir a forma canônica
x^2a^2 - y^2b^2 = 1

Passo 2

Usando L=18 na fórmula do latus rectum,
18 = 2b^2a Longrightarrow b^2a = 9 Longrightarrow b^2 = 9a

Passo 3

Da distância focal temos c=6, então
c^2 = 36 = a^2 + b^2 = a^2 + 9a
Isso leva à equação
a^2 + 9a - 36 = 0
Resolvendo,
a = -9 + raiz81 + 1442 = -9 + 152 = 3

Passo 4

Com a = 3 segue
b^2 = 9a = 27
Substituindo em
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
obtemos
x^29 - y^227 = 1

Resposta

x^29 - y^227 = 1

Exercícios relacionados