3 Considere a hipérbole .
(a) Determine os pontos e onde a reta perpendicular à reta focal que passa por um dos focos interseta a hiperbole .
(b) Verifique que . Esse número é chamado latus rectum de . O semi latus rectum é o número .
Passo 1
O enunciado considera a hipérbole
cujo eixo focal é o eixo . Precisamos achar os pontos e em que a reta perpendicular a esse eixo, passando por um foco, corta , e então verificar que a distância entre esses pontos é .
Passo 2
Em toda hipérbole na forma , os focos estão em
onde
Passo 3
Escolhendo o foco , a reta perpendicular ao eixo que passa por é simplesmente
Passo 4
Para obter os pontos de interseção entre e , substituímos na equação da hipérbole:
Reorganizando, temos
portanto
Passo 5
Da última igualdade seguem as duas soluções
Logo os pontos de interseção são
Passo 6
A distância entre e mede-se pela diferença em :
Esse número é o latus rectum da hipérbole, e o semi latus rectum vale tfracb^2a.