3 Considere a hipérbole H: x^2a^2-y^2b^2=1.
(a) Determine os pontos P1 e P2 onde a reta perpendicular à reta focal que passa por um dos focos interseta a hiperbole H.
(b) Verifique que d(P1, P2)=2 b^2a. Esse número é chamado latus rectum de H. O semi latus rectum é o número b^2a.

Passo 1

O enunciado considera a hipérbole
H:;x^2a^2-y^2b^2=1,
cujo eixo focal é o eixo x. Precisamos achar os pontos P1 e P2 em que a reta perpendicular a esse eixo, passando por um foco, corta H, e então verificar que a distância entre esses pontos é tfrac2b^2a.

Passo 2

Em toda hipérbole na forma tfracx^2a^2-tfracy^2b^2=1, os focos estão em
F1=(c,0), F2=(-c,0),
onde
c^2=a^2+b^2

Passo 3

Escolhendo o foco F1=(c,0), a reta perpendicular ao eixo x que passa por F1 é simplesmente
x=c

Passo 4

Para obter os pontos de interseção entre x=c e H, substituímos x=c na equação da hipérbole:
c^2a^2-y^2b^2=1
Reorganizando, temos
y^2b^2 =c^2a^2-1 =c^2-a^2a^2 =b^2a^2,
portanto
y^2=b^4a^2

Passo 5

Da última igualdade seguem as duas soluções
y=pmb^2a
Logo os pontos de interseção são
P1=l(c,b^2ar), P2=l(c,-b^2ar)

Passo 6

A distância entre P1 e P2 mede-se pela diferença em y:
d(P1,P2) =l|b^2a-l(-tfracb^2ar)r| =2b^2a
Esse número é o latus rectum da hipérbole, e o semi latus rectum vale tfracb^2a.

Resposta

P1=l(c,tfracb^2ar)
P2=l(c,-tfracb^2ar)
d(P1,P2)=tfrac2b^2a

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