Quais dos conjuntos a seguir são conjuntos geradores para P3 ? Justifique suas respostas.
x+2, x+1, x^2-1

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto
,x+2,;x+1,;x^2-1
é gerador de P3, o espaço de polinômios de grau <=3. Para decidir isso, vamos usar o fato de que a dimensão de P3 é 4.

Passo 2

Em qualquer espaço vetorial, um conjunto gerador precisa ter pelo menos tantas vetores quanto a dimensão do espaço. Como
dim P3 = 4
e nosso conjunto tem apenas 3 polinômios, seu posto (máximo número linearmente independente) é <=3 < 4. Logo ele não pode gerar todo P3.

Passo 3

Alternativamente, note que qualquer combinação linear
a(x+2)+b(x+1)+c(x^2-1)
é um polinômio de grau <=2 (o coeficiente de x^3 é zero). Assim não se obtém, por exemplo, x^3, que é elemento de P3. Portanto o span é só P2, não todo P3.

Resposta

O conjunto x+2,;x+1,;x^2-1 não é gerador de P3.

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