Quais dos conjuntos a seguir são conjuntos geradores para
? Justifique suas respostas.
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto
é gerador de , o espaço de polinômios de grau
. Para decidir isso, vamos usar o fato de que a dimensão de
é
.
é gerador de
Passo 2
Em qualquer espaço vetorial, um conjunto gerador precisa ter pelo menos tantas vetores quanto a dimensão do espaço. Como
e nosso conjunto tem apenas polinômios, seu posto (máximo número linearmente independente) é
<
. Logo ele não pode gerar todo
.
e nosso conjunto tem apenas
Passo 3
Alternativamente, note que qualquer combinação linear
é um polinômio de grau
(o coeficiente de
é zero). Assim não se obtém, por exemplo,
, que é elemento de
. Portanto o span é só
, não todo
.
Resposta
O conjunto
não é gerador de
.