Quais dos conjuntos a seguir são conjuntos geradores para P3 ? Justifique suas respostas.
x+2 x, x^2-1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = ,x+2x,;x^2-1
é gerador de P3, o espaço dos polinômios reais de grau no máximo 3. Vamos usar a definição de conjunto gerador e o fato de que P3 tem dimensão 4.

Passo 2

Sabemos que uma base canônica de P3 é 1,x,x^2,x^3, logo
dim(P3) = 4
Qualquer conjunto gerador de P3 precisa ter pelo menos 4 polinômios e, em particular, permitir obter o termo x^3 por combinações lineares.

Passo 3

O conjunto dado tem apenas dois polinômios,
x+2x=3xe x^2-1,
ambos de grau no máximo 2. Com apenas esses dois elementos não é possível produzir, por combinação linear, um polinômio que contenha o termo x^3.

Passo 4

Como #S=2<4, a dimensão de span(S) satisfaz
diml(span(S)r)<=2<4=dim(P3),
logo span(S)neq P3 e S não é um conjunto gerador de P3.

Resposta

O conjunto ,x+2x,;x^2-1 não gera P3.

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