Determine a equação da hipérbole, dados:
centro na origem, excentrididade 2 raiz3, latus rectum 18 e eixo focal sobre o eixo Y.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma hipérbole com centro na origem, excentricidade e=2raiz3, latus rectum de comprimento 18 e eixo focal (transverso) sobre o eixo y. Vamos usar a forma padrão da hipérbole vertical e as fórmulas:
(i) y^2a^2-x^2b^2=1, (ii) e=ca, (iii) c^2=a^2+b^2, (iv) L=2b^2a,
onde L é o comprimento do latus rectum.

Passo 2

Da definição de excentricidade temos
c = a,e = a,(2raiz3) Longrightarrow c^2 = (2raiz3,a)^2 = 12,a^2
Pela relação c^2=a^2+b^2 segue
12,a^2 = a^2 + b^2 Longrightarrow b^2 = 11,a^2

Passo 3

Como o latus rectum vale L=18, usamos
L = 2,b^2a = 18 Longrightarrow b^2 = 18,a2 = 9,a

Passo 4

Igualando as duas expressões para b^2,
11,a^2 = 9,a Longrightarrow a,(11,a - 9)=0 Longrightarrow a = 911 (descartamos a=0)
Então
b^2 = 11,a^2 = 11cdotl(911r)^2 = 8111

Passo 5

Substituímos a^2 e b^2 na forma padrão:
a^2 = l(911r)^2 = 81121, b^2 = 8111
Logo a hipérbole é
y^2tfrac81121 -x^2tfrac8111 =1
Multiplicando tudo por 121 para simplificar,
121,y^2tfrac81121 -121,x^2tfrac8111 =121 ;Longrightarrow; 121cdot 12181,y^2 - 121cdot 1181,x^2 =121,
ou de forma mais enxuta:
121,y^2-11,x^2=81

Resposta

A equação da hipérbole é
121,y^2 - 11,x^2 = 81

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