Quais dos conjuntos a seguir são ou não conjuntos geradores para R^3 ? Justifique suas respostas.
(1,0,0)^T,(0,1,1)^T,(1,0,1)^T

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto
S = (1,0,0)^T,,(0,1,1)^T,,(1,0,1)^T
é um conjunto gerador de R^3. O conteúdo aqui é espaço de vetores e geradores: um conjunto gera R^3 se o seu span for todo R^3. Como temos três vetores em R^3, basta mostrar que eles são linearmente independentes (ou que a matriz formada por eles é invertível).

Passo 2

Para verificar independência linear em R^3 podemos montar a matriz A cujas colunas são os vetores de S:
A = 1 & 0 & 1 [6pt] 0 & 1 & 0 [6pt] 0 & 1 & 1
Se det(A)neq0, então rank(A)=3 e os vetores são independentes, implicando span(S)=R^3.

Passo 3

Calculando o determinante por expansão na primeira linha:
det(A) = 1cdotdet!1 & 0 [3pt]1 & 1 -0cdotdet(dots) +1cdotdet!0 & 1 [3pt]0 & 1
Aqui
det!1 & 0 1 & 1 =1cdot1 - 0cdot1 = 1, det!0 & 1 0 & 1 =0cdot1 - 1cdot0 = 0
Logo
det(A) = 1cdot1 + 1cdot0 = 1 neq 0

Passo 4

Como det(A)neq0, a matriz A é invertível e os vetores de S são linearmente independentes. Em R^3, três vetores independentes formam um sistema de generadores.

Resposta

O conjunto (1,0,0)^T,,(0,1,1)^T,,(1,0,1)^T é um conjunto gerador de R^3.

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