Quais dos conjuntos a seguir são ou não conjuntos geradores para ? Justifique suas respostas.
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto
é um conjunto gerador de . O conteúdo aqui é espaço de vetores e geradores: um conjunto gera se o seu span for todo . Como temos três vetores em , basta mostrar que eles são linearmente independentes (ou que a matriz formada por eles é invertível).
Passo 2
Para verificar independência linear em podemos montar a matriz cujas colunas são os vetores de :
Se det(A)neq0, então rank(A)=3 e os vetores são independentes, implicando span(S)=R^3.
Passo 3
Calculando o determinante por expansão na primeira linha:
Como det(A)neq0, a matriz A é invertível e os vetores de S são linearmente independentes. Em R^3, três vetores independentes formam um sistema de generadores.
Resposta
O conjunto (1,0,0)^T,,(0,1,1)^T,,(1,0,1)^T é um conjunto gerador de R^3.