Determine se cada conjunto a seguir é ou não um conjunto gerador para
.
Passo 1
O enunciado pede verificar se o conjunto
é gerador de . Para isso, vamos usar o conceito de geração por combinações lineares e verificar se os vetores são linearmente independentes.
é gerador de
Passo 2
Observamos as razões entre as coordenadas dos vetores:
logo
De modo semelhante,
implicando
Portanto, todos os vetores são múltiplos de
e, assim, colineares.
Passo 3
Como os três vetores estão numa mesma reta (são colineares), o subespaço que eles geram tem dimensão
, enquanto
tem dimensão
. Logo, não é possível obter vetores fora dessa reta por combinação linear.
Resposta
O conjunto não é gerador de
.