Determine se cada conjunto a seguir é ou não um conjunto gerador para R^2.
binom-12,binom1-2,binom2-4

Passo 1

O enunciado pede verificar se o conjunto
binom-12,,binom1-2,,binom2-4
é gerador de R^2. Para isso, vamos usar o conceito de geração por combinações lineares e verificar se os vetores são linearmente independentes.

Passo 2

Observamos as razões entre as coordenadas dos vetores:
1-1 = -1 e -22 = -1,
logo
binom1-2 = -1cdot binom-12
De modo semelhante,
2-1 = -2 e -42 = -2,
implicando
binom2-4 = -2cdot binom-12
Portanto, todos os vetores são múltiplos de binom-12 e, assim, colineares.

Passo 3

Como os três vetores estão numa mesma reta (são colineares), o subespaço que eles geram tem dimensão 1, enquanto R^2 tem dimensão 2. Logo, não é possível obter vetores fora dessa reta por combinação linear.

Resposta

O conjunto não é gerador de R^2.

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