Determine se cada conjunto a seguir é ou não um conjunto gerador para R^2.
binom12,binom-11

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto de vetores
v1=binom12 e v2=binom-11
é um conjunto gerador de R^2. O conteúdo aqui é de espaços vetoriais, geração (span) e independência linear em R^2.

Passo 2

Em R^2, dois vetores geram todo o espaço se, e somente se, forem linearmente independentes. Uma maneira prática de verificar independência linear é calcular o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores: se o determinante for não nulo, eles são independentes e, portanto, geradores.

Passo 3

Formamos a matriz
A = 1 & -1 2 & 1
e calculamos seu determinante:
det(A) = 1 cdot 1 - (-1) cdot 2 = 1 + 2 = 3
Como det(A)=3 neq 0, os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Por serem linearmente independentes em R^2, os vetores v1 e v2 geram todo o R^2.

Resposta

Sim, ,(1,2)^T,,(-1,1)^T é um conjunto gerador de R^2.

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