Determine se cada conjunto a seguir é ou não um conjunto gerador para .
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto de vetores e
é um conjunto gerador de . O conteúdo aqui é de espaços vetoriais, geração (span) e independência linear em .
Passo 2
Em , dois vetores geram todo o espaço se, e somente se, forem linearmente independentes. Uma maneira prática de verificar independência linear é calcular o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores: se o determinante for não nulo, eles são independentes e, portanto, geradores.
Passo 3
Formamos a matriz
e calculamos seu determinante:
det(A) = 1 cdot 1 - (-1) cdot 2 = 1 + 2 = 3
Como det(A)=3 neq 0, os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Por serem linearmente independentes em R^2, os vetores v1 e v2 geram todo o R^2.
Resposta
Sim, ,(1,2)^T,,(-1,1)^T é um conjunto gerador de R^2.