Para as hipérboles dadas abaixo, determine: focos, vértices, centro, assintotas e faça um esboço do seu gráfico.
25 x^2-16 y^2=20

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole
25x^2-16y^2=20
e pede: centro, vértices, focos, assíntotas e esboço do gráfico. O conteúdo aqui é a forma padrão da hipérbole do tipo
x^2a^2-y^2b^2=1,
onde a e b determinam vértices e assíntotas, e o foco fica em (pm c,0) com c^2=a^2+b^2.

Passo 2

Para pôr em forma padrão dividimos por 20:
25x^220-16y^220=1 Longrightarrow x^220/25-y^220/16=1
Logo
a^2=2025=45, b^2=2016=54

Passo 3

Do resultado obtemos
a=raiztfrac45=2raiz5, b=raiztfrac54=raiz52
O centro da hipérbole é o ponto (0,0), pois não há termos de x ou y isolados.

Passo 4

Os vértices ficam em (pm a,0), isto é,
V1=l(-tfrac2raiz5,0r), V2=l(tfrac2raiz5,0r)
Para os focos calculamos
c^2=a^2+b^2 =45+54 =16+2520 =4120,
logo
c=raiz4120 =raiz412raiz5 =raiz20510
Portanto
F1=l(-tfracraiz20510,0r), F2=l(tfracraiz20510,0r)

Passo 5

As assíntotas de uma hipérbole horizontal são
y=pmba,x
Aqui
ba =raiz522raiz5 =raiz52cdotraiz52 =54,
logo as retas são
y=54,x e y=-54,x

Passo 6

Para esboçar o gráfico:
1. Marque o centro em (0,0).
2. Plote os vértices em l(pmtfrac2raiz5,0r)approx(pm0,894,0).
3. Trace as assíntotas y=pm54x.
4. Desenhe os ramos da hipérbole passando pelos vértices e “abraçando” as assíntotas conforme xtopminfty.
Gráfico aproximado:
c y | backslash | / backslash | / backslash | / ---------circ-----------circ---------> x (-a,0) (a,0) / | backslash / | backslash / | backslash |

Resposta

Centro: (0,0)
Vértices: l(pmtfrac2raiz5,0r)
Focos: l(pmtfracraiz20510,0r)
Assíntotas: y=tfrac54x e y=-tfrac54x
Esboço: conforme desenho acima.

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