Quais dos conjuntos a seguir são ou não conjuntos geradores para
? Justifique suas respostas.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pergunta se é um conjunto gerador de
. Um conjunto gera
quando todo vetor de
pode ser escrito como combinação linear dos vetores de
. Em particular, isso exige que o posto da matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores seja igual a 3.
e pergunta se
Passo 2
Vamos verificar se há dependência linear entre os vetores de
. Note que
Logo existem constantes não todas nulas (por exemplo
) tais que
Isto mostra que os três vetores são linearmente dependentes.
Passo 3
Como todos os vetores de
são múltiplos de
, o subespaço gerado por
é apenas a reta de direção
. Em outras palavras,
logo não é possível escrever um vetor genérico de
como combinação linear desses vetores.
Resposta
O conjunto
não é gerador de
, pois seus vetores são todos colineares e, portanto, o posto do conjunto é 1, não 3.