Quais dos conjuntos a seguir são ou não conjuntos geradores para R^3 ? Justifique suas respostas.
(2,1,-2)^T,(-2,-1,2)^T,(4,2,-4)^T

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S=l(2,1,-2)^T,,(-2,-1,2)^T,,(4,2,-4)^Tr
e pergunta se S é um conjunto gerador de R^3. Um conjunto gera R^3 quando todo vetor de R^3 pode ser escrito como combinação linear dos vetores de S. Em particular, isso exige que o posto da matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores seja igual a 3.

Passo 2

Vamos verificar se há dependência linear entre os vetores de S. Note que
(-2,-1,2) = -1cdot(2,1,-2),
(4,2,-4) = 2cdot(2,1,-2)
Logo existem constantes não todas nulas (por exemplo lambda1=1,lambda2=1,lambda3=-2) tais que
1cdot(2,1,-2) + 1cdot(-2,-1,2) + (-2)cdot(4,2,-4) = 0
Isto mostra que os três vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Como todos os vetores de S são múltiplos de (2,1,-2), o subespaço gerado por S é apenas a reta de direção (2,1,-2). Em outras palavras,
diml(span(S)r)=1 < 3,
logo não é possível escrever um vetor genérico de R^3 como combinação linear desses vetores.

Resposta

O conjunto (2,1,-2)^T,,(-2,-1,2)^T,,(4,2,-4)^T não é gerador de R^3, pois seus vetores são todos colineares e, portanto, o posto do conjunto é 1, não 3.

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