Quais dos conjuntos a seguir são ou não conjuntos geradores para R^3 ? Justifique suas respostas.
(1,1,3)^T,(0,2,1)^T

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
S = l(1,1,3)^T,;(0,2,1)^Tr
e pergunta se S é um conjunto gerador de R^3. Vamos usar teoria de espaços vetoriais, em particular o conceito de subespaço gerado e dimensão.

Passo 2

Por definição, S gera R^3 se, e somente se,
Span(S)=R^3,
o que exige que os vetores de S sejam linearmente independentes e que o número de vetores em S seja pelo menos igual à dimensão de R^3, isto é, no mínimo 3 vetores.

Passo 3

O conjunto S tem apenas 2 vetores. Mesmo que eles sejam linearmente independentes, o espaço gerado por dois vetores em R^3 tem dimensão no máximo 2 (é um plano), logo não pode coincidir com R^3, que é de dimensão 3.

Passo 4

Para confirmar, observe que uma combinação linear qualquer
alpha,(1,1,3)^T+beta,(0,2,1)^T=(x,y,z)^T
impõe o sistema
x=alpha, y=alpha+2beta, z=3alpha+beta
Dessas equações segue y=2z-5x, ou seja, só se obtém pontos num plano de R^3, e não todo o espaço.

Resposta

O conjunto S não é gerador de R^3, pois Span(S) tem dimensão 2, inferior à dimensão 3 de R^3.

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