Quais dos conjuntos a seguir são ou não conjuntos geradores para ? Justifique suas respostas.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
e pergunta se é um conjunto gerador de . Vamos usar teoria de espaços vetoriais, em particular o conceito de subespaço gerado e dimensão.
Passo 2
Por definição, gera se, e somente se,
o que exige que os vetores de sejam linearmente independentes e que o número de vetores em seja pelo menos igual à dimensão de , isto é, no mínimo 3 vetores.
Passo 3
O conjunto tem apenas 2 vetores. Mesmo que eles sejam linearmente independentes, o espaço gerado por dois vetores em tem dimensão no máximo 2 (é um plano), logo não pode coincidir com , que é de dimensão 3.
Passo 4
Para confirmar, observe que uma combinação linear qualquer
impõe o sistema
Dessas equações segue y=2z-5x, ou seja, só se obtém pontos num plano de R^3, e não todo o espaço.
Resposta
O conjunto Snão é gerador de R^3, pois Span(S) tem dimensão 2, inferior à dimensão 3 de R^3.