Para as hipérboles dadas abaixo, determine: focos, vértices, centro, assintotas e faça um esboço do seu gráfico.
4 x^2-45 y^2=180

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole
4x^2 - 45y^2 = 180
e pede centro, vértices, focos, assíntotas e um esboço do gráfico. O conteúdo é geometria analítica de cônicas, e vamos começar reescrevendo essa equação na forma padrão
x^2a^2 - y^2b^2 = 1

Passo 2

Dividindo ambos os lados por 180 obtemos
x^245 ;-;y^24 ;=;1
Daí identificamos
a^2 = 45, b^2 = 4,
o que dá
a = 3raiz5, b = 2

Passo 3

Para toda hipérbole na forma tfracx^2a^2-tfracy^2b^2=1 com centro (h,k), aqui (0,0), os vértices são
(hpm a,;k) = (pm 3raiz5,,0)

Passo 4

Os focos obedecem c^2 = a^2 + b^2, ou seja
c^2 = 45 + 4 = 49, c = 7,
logo os focos estão em
(pm 7,,0)

Passo 5

As assíntotas de uma hipérbole horizontal são
y - k = pm ba,(x - h)
Aqui h=k=0 e tfracba=tfrac23raiz5=tfrac2raiz515, então
y = pm 2raiz515,x

Passo 6

Para esboçar o gráfico, desenhe:
– Eixos coordenados e o centro em (0,0).
– Marque os vértices em (pm3raiz5,0) e os focos em (pm7,0).
– Trace como linhas pontilhadas as retas y=pmtfrac2raiz515x.
– Finalmente, desenhe os ramos da hipérbole abrindo-se para a direita e para a esquerda, aproximando-se das assíntotas.

Resposta

Centro: (0,0)
Vértices: (pm 3raiz5,,0)
Focos: (pm 7,,0)
Assíntotas:
y = pm 2raiz515,x

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