Determine, caso existam, os valores de k in R para os quais as equaçôes abaixo representam uma hipérbole.
(k-1) x^2+(k-3) y^2=k-2;

Passo 1

O enunciado dá a equação
(k-1)x^2 + (k-3)y^2 = k-2
que é um caso de cônica central sem termo misto nem termo linear. Para que seja hipérbole, precisamos que os coeficientes de x^2 e de y^2 tenham sinais opostos (i.e.\ o discriminante A cdot B < 0) e que a cônica seja não degenerada (o lado direito da equação não pode ser zero).

Passo 2

Chamando
A = k-1, B = k-3, C = k-2,
a condição de hipérbole é
Acdot B < 0 Long<=ftrightarrow (k-1)(k-3)<0
A desigualdade (k-1)(k-3)<0 ocorre exatamente quando k está entre as raízes 1 e 3, isto é,
1<k<3

Passo 3

Para não haver degenerescência (caso de pares de retas), é preciso que
C neq 0 Long<=ftrightarrow k-2neq 0 Long<=ftrightarrow kneq 2

Resposta

A equação representa uma hipérbole exatamente para
kin(1,2)cup(2,3)

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